设函数 y = x^sin x，则 y' = （ ）A. x^sin x - 1 sin xB. x^sin x ln xC. x^sin x ( cos x ln x + (sin x)/(x) )D. (x^sin x cos x)/(x)

题目分析

已知函数为 $y = x^{\sin x}$，我们需要求其导数 $y'$。

观察该函数的形式，底数 $x$ 和指数 $\sin x$ 都是变量，因此这是一个幂指函数。对于幂指函数 $y = u(x)^{v(x)}$，通常采用对数求导法来求导。

求解过程

1. 两边取自然对数

   对等式 $y = x^{\sin x}$ 两边同时取自然对数，得到：
   $\ln y = \ln (x^{\sin x})$

   利用对数的性质 $\ln(a^b) = b \ln a$，可以将上式化简为：
   $\ln y = \sin x \cdot \ln x$

2. 两边同时对 $x$ 求导

   左边 $\ln y$ 是关于 $y$ 的函数，而 $y$ 是 $x$ 的函数，根据链式法则：
   $(\ln y)' = \frac{1}{y} \cdot y'$

   右边 $\sin x \cdot \ln x$ 是两个函数的乘积，根据乘积求导法则 $(uv)' = u'v + uv'$：
   $(\sin x \cdot \ln x)' = (\sin x)' \cdot \ln x + \sin x \cdot (\ln x)'$

   分别计算导数：

   • $(\sin x)' = \cos x$
   • $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

   所以，右边的导数为：
   $\cos x \cdot \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$

3. 整理等式

   将左右两边的导数结果放在一起，得到：
   $\frac{1}{y} \cdot y' = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$

   将 $y$ 乘到右边，解出 $y'$：
   $y' = y \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

4. 代回原函数

   已知 $y = x^{\sin x}$，将其代入上式：
   $y' = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$

选项分析

• A 选项：$x^{\sin x - 1} \sin x$。这是错误地将指数当作常数，底数当作变量，套用幂函数求导公式得到的结果，未考虑指数也是变量。
• B 选项：$x^{\sin x} \ln x$。这是错误地将底数当作常数，指数当作变量，套用指数函数求导公式得到的结果，同样未考虑底数也是变量。
• C 选项：$x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$。与我们计算得出的结果完全一致。
• D 选项：$\frac{x^{\sin x} \cos x}{x}$。这是不完整的求导结果，遗漏了乘积法则中的另一项。

结论

正确答案是 C。