题目
质量为mu的粒子在一维无限深势阱运动，其的势能函数为：[ U(x) = 0 0 < x < a ][ U(x) = infty x leq 0, x geq a ]求：(1) 能量本征值；(2) 粒子在各处出现的概率密度。
质量为$\mu$的粒子在一维无限深势阱运动，其的势能函数为：
$U(x) = 0 \quad 0 < x < a$
$U(x) = \infty \quad x \leq 0, x \geq a$
求：
(1) 能量本征值；
(2) 粒子在各处出现的概率密度。
题目解答
答案
1. 根据薛定谔方程及边界条件，能量本征值为：
\[
E_n = \frac{n^2 \pi^2 \hbar^2}{2\mu a^2}, \quad n = 1, 2, 3, \dots
\]
2. 归一化波函数为：
\[
\psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}} \sin\left( \frac{n\pi x}{a} \right).
\]
粒子在 $ x $ 处出现的概率密度为：
\[
P(x) = \frac{2}{a} \sin^2\left( \frac{n\pi x}{a} \right).
\]