1. 质量为 m 的子弹以速度 v_0 水平射入沙土中，设子弹所受阻力为 F = -Kv，忽略弹的重力，求：(1) 子弹射入沙土中加速度的函数式；(2) 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；

考查要点：本题主要考查牛顿第二定律的应用以及变力作用下的运动学方程求解，涉及微分方程的建立与求解。

解题思路：

1. 第一问：直接利用牛顿第二定律，将阻力表达式代入，得到加速度与速度的关系式。
2. 第二问：将加速度表示为速度对时间的导数，建立微分方程，通过分离变量法求解速度随时间的变化规律。

关键点：

• 阻力方向与速度方向相反，导致加速度方向与速度方向相反。
• 微分方程的分离变量法是求解速度随时间变化的核心方法。

第（1）题

应用牛顿第二定律

根据牛顿第二定律，合外力等于质量与加速度的乘积：
$F = m a$
题目中阻力为 $F = -Kv$，代入得：
$-Kv = m a$
整理得加速度函数：
$a(v) = -\frac{K}{m} v$

第（2）题

建立微分方程

加速度是速度对时间的导数，即：
$\frac{dv}{dt} = a(v) = -\frac{K}{m} v$

分离变量并积分

将变量分离：
$\frac{dv}{v} = -\frac{K}{m} dt$
两边积分：
$\int \frac{1}{v} dv = -\frac{K}{m} \int dt$
得：
$\ln v = -\frac{K}{m} t + C$

应用初始条件

当 $t = 0$ 时，$v = v_0$，代入得：
$\ln v_0 = C$
因此：
$\ln v = -\frac{K}{m} t + \ln v_0$

化简结果

取指数函数得速度随时间变化的函数：
$v(t) = v_0 e^{-\frac{K}{m} t}$