极限lim _(n arrow infty) (sqrt(1)+sqrt(2)+...+sqrt(n))/(sqrt(n)(1+2+...+n))= ________

我们来求解这个极限：

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{n}}{\sqrt{n}(1 + 2 + \cdots + n)}$

第一步：分析分子和分母

分子：
$\sqrt{1} + \sqrt{2} + \cdots + \sqrt{n} = \sum_{k=1}^n \sqrt{k}$

这个和没有简单的闭式表达式，但我们可以通过积分估计法来近似它。

我们知道，函数 $ f(x) = \sqrt{x} $ 在 $ [1, n] $ 上是单调递增的，因此可以用积分来估计求和：

$\int_0^n \sqrt{x} \, dx \leq \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \leq \int_1^{n+1} \sqrt{x} \, dx$

更精确地，常用估计是：

$\sum_{k=1}^n \sqrt{k} \sim \int_1^n \sqrt{x} \, dx + \text{修正项} \sim \frac{2}{3} n^{3/2} \quad \text{当 } n \to \infty$

更准确地说，有渐近公式：

$\sum_{k=1}^n \sqrt{k} = \frac{2}{3} n^{3/2} + \frac{1}{2} n^{1/2} + O(1)$

所以主导项是 $ \frac{2}{3} n^{3/2} $，即：

$\sum_{k=1}^n \sqrt{k} \sim \frac{2}{3} n^{3/2}$

分母：
$\sqrt{n} \cdot (1 + 2 + \cdots + n) = \sqrt{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2}$

我们简化一下：

$\sqrt{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)\sqrt{n}}{2} = \frac{n^{3/2}(n+1)}{2}$

当 $ n \to \infty $ 时，$ n+1 \sim n $，所以分母渐近于：

$\frac{n^{3/2} \cdot n}{2} = \frac{1}{2} n^{5/2}$

更精确地保留 $ n+1 $，我们写成：

$\text{分母} = \frac{n^{3/2}(n+1)}{2} = \frac{n^{5/2} + n^{3/2}}{2} \sim \frac{1}{2} n^{5/2}$

第二步：代入渐近表达式求极限

现在我们有：

• 分子 $ \sim \frac{2}{3} n^{3/2} $
• 分母 $ \sim \frac{1}{2} n^{5/2} $

所以整个分式：

$\frac{\sum_{k=1}^n \sqrt{k}}{\sqrt{n}(1+2+\cdots+n)} \sim \frac{\frac{2}{3} n^{3/2}}{\frac{1}{2} n^{5/2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{n^{3/2}}{n^{5/2}} = \frac{4}{3} \cdot n^{-1} = \frac{4}{3n}$

这说明整个表达式趋于 0？

等等！这似乎有问题，因为我们得到的是 $ \frac{4}{3n} \to 0 $，但我们再检查一下。

仔细核对指数

分子：$ \sum \sqrt{k} \sim \frac{2}{3} n^{3/2} $

分母：$ \sqrt{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} \sim \sqrt{n} \cdot \frac{n^2}{2} = \frac{1}{2} n^{5/2} $

所以：

$\frac{\frac{2}{3} n^{3/2}}{\frac{1}{2} n^{5/2}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{1} \cdot n^{3/2 - 5/2} = \frac{4}{3} n^{-1} \to 0$

所以极限是 0？

但让我们再确认一下，是否哪里出错了。

换一种方法：用更精确的估计或夹逼法

我们尝试用积分估计来更严格地处理分子。

由于 $ \sqrt{x} $ 单调递增，有：

$\int_0^n \sqrt{x} \, dx \leq \sum_{k=1}^n \sqrt{k} \leq \int_1^{n+1} \sqrt{x} \, dx$

计算：

$\int_0^n \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} n^{3/2}$

$\int_1^{n+1} \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} (n+1)^{3/2} - \frac{2}{3} (1)^{3/2} \sim \frac{2}{3} n^{3/2}$

所以确实：

$\sum_{k=1}^n \sqrt{k} = \Theta(n^{3/2})$

分母是：

$\sqrt{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \Theta(n^{1/2} \cdot n^2) = \Theta(n^{5/2})$

所以整个分式是：

$\frac{\Theta(n^{3/2})}{\Theta(n^{5/2})} = \Theta(n^{-1}) \to 0$

所以极限是 0。

再检查是否有理解错误

题目是：

$\frac{\sqrt{1} + \cdots + \sqrt{n}}{\sqrt{n} \cdot (1 + 2 + \cdots + n)}$

注意：分母是 $ \sqrt{n} $ 乘以 $ 1+2+\cdots+n $，不是 $ \sqrt{1} + \cdots + \sqrt{n} $。

是的，我们理解正确。

最终结论

分子增长速度是 $ n^{3/2} $，分母是 $ \sqrt{n} \cdot n^2 = n^{5/2} $，所以整体趋于 0。

因此，

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\cdots+\sqrt{n}}{\sqrt{n}(1+2+\cdots+n)} = 0$

答案：

$\boxed{0}$