写出定核近似下,He原子的哈密顿算符(采用原子单位制)___________________________________________。

考查要点：本题要求写出氦（He）原子在定核近似下的哈密顿算符，需掌握原子单位制下各物理量的表达形式，并理解哈密顿算符的组成结构。

解题核心思路：

1. 定核近似：忽略原子核的运动，仅考虑电子的运动。
2. 哈密顿算符组成：包含电子的动能、电子与核的库仑吸引势能、电子间的库仑排斥势能。
3. 原子单位制：简化常数（如电子质量、电荷量等归一化），公式形式更简洁。

破题关键点：

• 动能项：每个电子的动能为 $-\frac{1}{2} \nabla_i^2$（原子单位下）。
• 核-电子势能：核电荷为 $+2e$，每个电子的势能为 $-\frac{2}{r_i}$。
• 电子-电子势能：库仑排斥项为 $\frac{1}{r_{12}}$。

在定核近似下，氦原子的哈密顿算符由以下三部分组成：

1. 电子的动能

每个电子的动能算符为：
$-\frac{1}{2} \nabla_1^2 \quad \text{和} \quad -\frac{1}{2} \nabla_2^2$
总动能为两者的和：
$-\frac{1}{2} \left( \nabla_1^2 + \nabla_2^2 \right)$

2. 核-电子的库仑吸引势能

氦核电荷为 $+2e$，每个电子的势能为：
$-\frac{2}{r_1} \quad \text{和} \quad -\frac{2}{r_2}$
总吸引势能为两者的和：
$-\frac{2}{r_1} - \frac{2}{r_2}$

3. 电子-电子的库仑排斥势能

两电子之间的库仑势能为：
$\frac{1}{r_{12}}$

4. 总哈密顿算符

将上述三部分相加，得到：
$-\frac{1}{2} \left( \nabla_1^2 + \nabla_2^2 \right) - \frac{2}{r_1} - \frac{2}{r_2} + \frac{1}{r_{12}}$