A-|||-0-|||-B如图所示，水平桌面中央有一个光滑的小孔O，一根不可伸长的轻绳穿过小孔，两端分别连接着质量为mA=4kg、mB=1kg的物体A和B，在水平桌面内给物体A一个垂直于绳的初速度，使A在水平桌面上做匀速圆周运动。其中在水平桌面上的绳长OA=0.5m，g取10m/s2．求：（1）若桌面光滑，求绳中张力F和物体A运动的线速度大小vA；（2）若A与桌面之间的动摩擦因数为μ=0.2，为了使在水平桌面上的绳OA长度保持不变，求在水平桌面上做匀速圆周运动的物体A的角速度应满足的条件。（物体A的最大静摩擦力等于滑动摩擦力大小）

考查要点：本题主要考查圆周运动中的向心力来源、静摩擦力与张力的综合应用，以及临界条件的分析能力。

解题核心思路：

1. 第一问：桌面光滑时，绳中张力由物体B的重力直接决定，物体A的向心力由张力提供，利用向心力公式即可求解线速度。
2. 第二问：存在摩擦时，绳的张力与静摩擦力的合力提供向心力。需分析静摩擦力方向与张力同向或反向的两种临界情况，分别求出角速度的范围。

破题关键点：

• 张力的确定：物体B始终静止，张力恒为$F = m_B g$。
• 静摩擦力的双向性：当静摩擦力方向与张力同向时，向心力最大，对应最大角速度；反向时对应最小角速度。

第（1）题

分析物体B的受力

物体B静止，受力平衡，绳中张力为：
$F = m_B g = 1 \, \text{kg} \times 10 \, \text{m/s}^2 = 10 \, \text{N}$

分析物体A的向心力

桌面光滑时，张力提供向心力：
$F = m_A \frac{v_A^2}{R}$
代入$F = 10 \, \text{N}$，$m_A = 4 \, \text{kg}$，$R = 0.5 \, \text{m}$：
$v_A = \sqrt{\frac{F R}{m_A}} = \sqrt{\frac{10 \times 0.5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \, \text{m/s}$

第（2）题

受力分析

物体A受张力$F = 10 \, \text{N}$、最大静摩擦力$f_{\text{max}} = \mu m_A g = 0.2 \times 4 \times 10 = 8 \, \text{N}$，以及桌面的支持力和重力平衡。

临界条件分析

• 最大角速度：静摩擦力与张力同向，总向心力最大：
  $F + f_{\text{max}} = m_A \omega_1^2 R$
  代入数据：
  $10 + 8 = 4 \omega_1^2 \times 0.5 \implies \omega_1 = 3 \, \text{rad/s}$

• 最小角速度：静摩擦力与张力反向，总向心力最小：
  $F - f_{\text{max}} = m_A \omega_2^2 R$
  代入数据：
  $10 - 8 = 4 \omega_2^2 \times 0.5 \implies \omega_2 = 1 \, \text{rad/s}$