int (x^5+x^4-8)/(x^3-x) dx

考查要点：本题主要考查有理分式的积分方法，涉及多项式除法、部分分式分解以及分项积分技巧。

解题核心思路：

1. 多项式除法：当被积函数为假分式（分子次数≥分母次数）时，先将其拆分为多项式与真分式的和。
2. 部分分式分解：将真分式分解为简单分式的组合，便于逐项积分。
3. 分项积分：对分解后的分式分别积分，结合对数函数和多项式积分公式。

破题关键点：

• 分母因式分解：将分母 $x^3 - x$ 分解为 $x(x-1)(x+1)$，为后续部分分式分解做准备。
• 系数求解：通过待定系数法确定部分分式中的未知常数。

步骤1：多项式除法

将 $\frac{x^5 + x^4 - 8}{x^3 - x}$ 分解为多项式与真分式：

1. 用分子除以分母，商为 $x^2 + x + 1$，余式为 $x^2 + x - 8$。
2. 原式可表示为：
   $x^2 + x + 1 + \frac{x^2 + x - 8}{x^3 - x}$

步骤2：部分分式分解

将 $\frac{x^2 + x - 8}{x(x-1)(x+1)}$ 分解为：
$\frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$
通过通分并比较系数，解得：

• $A = 8$
• $B = -3$
• $C = -3$

步骤3：分项积分

将原积分拆分为多项式部分和分式部分分别积分：

1. 多项式部分：
   $\int (x^2 + x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$
2. 分式部分：
   $\int \left( \frac{8}{x} - \frac{3}{x-1} - \frac{3}{x+1} \right) dx = 8\ln|x| - 3\ln|x-1| - 3\ln|x+1|$