int (x^5+x^4-8)/(x^3-x) dx

步骤 1：分解被积函数
首先，我们观察到被积函数 $\frac{x^5+x^4-8}{x^3-x}$ 可以通过多项式除法或部分分式分解来简化。注意到分母可以分解为 $x(x-1)(x+1)$，我们尝试将分子分解或通过多项式除法简化。

步骤 2：多项式除法
进行多项式除法，将 $x^5+x^4-8$ 除以 $x^3-x$，得到商和余数。商为 $x^2+x$，余数为 $-8$。因此，原式可以写为：
$$\int \left(x^2+x+\frac{-8}{x^3-x}\right) dx$$

步骤 3：部分分式分解
接下来，我们对 $\frac{-8}{x^3-x}$ 进行部分分式分解。由于分母可以分解为 $x(x-1)(x+1)$，我们设：
$$\frac{-8}{x^3-x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$$
解得 $A=8$，$B=-3$，$C=-3$。因此，原式可以写为：
$$\int \left(x^2+x+\frac{8}{x}-\frac{3}{x-1}-\frac{3}{x+1}\right) dx$$

步骤 4：积分
对每一项分别积分：
$$\int x^2 dx = \frac{x^3}{3}$$
$$\int x dx = \frac{x^2}{2}$$
$$\int \frac{8}{x} dx = 8\ln|x|$$
$$\int -\frac{3}{x-1} dx = -3\ln|x-1|$$
$$\int -\frac{3}{x+1} dx = -3\ln|x+1|$$
将这些结果相加，得到最终的积分结果。