题目

5.选择题 25-5 图所示为一具有球对称性分布的静电场的 E-r 关系曲线,请-|||-指出产生该静电场的带电体是 ()-|||-(A)半径为R的均匀带电球面。-|||-(B)半径为R的均匀带电球体。-|||-(C)半径为R、电荷体密度 rho =Ar (A为常数)的非均匀带电球体。-|||-D)半径为R、电荷体密度 rho =A/r (A为常数)的非均匀带电球体。-|||-E-|||-E=1/r^2-|||-1-|||-O R r-|||-选择题 25-5 图

题目解答

答案

解析

本题考查不同带电体产生的静电场强$E-r$关系，需结合高斯定理分析各选项的电场分布特征。

关键知识点：高斯定理与电场分布

对于球对称带电体，电场强度$E$仅与半径$r$有关，可通过高斯定理$\oint \vec{E}\cdot d\vec{S}=q_{in}/\varepsilon_0$（$q_{in}$为高斯面内包围的电荷量）计算。

选项分析

选项A：半径为$R$的均匀带电球面

均匀带电球面（电荷集中在半径$R$的球壳上）：

  • 当$r < R$（球面内）：高斯面内无电荷，$q_{in}=0$，故$E=0$；
  • 当$r \geq R$（球面外）：高斯面内包围全部电荷$Q$，$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$（$E\propto 1/r^2$）。
    电场分布：$r < R$时$E=0$，$r \geq R$时$E\propto 1/r^2$，与题图中\\(r < R\)时$E$仍存在的特征不符。

选项B：半径为$R$的均匀均匀带电球体

均匀带电球体（电荷体密度$\rho$恒定）：

  • 当$r < R$（球体内）：高斯面内电荷$q_{in}=\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3$，由高斯定理得$E\cdot 4\pi r^2=\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_0}$，得$E=\frac{\rho r}{3\varepsilon_0}$（$E\propto r$）；

  • 当$r \geq R$（球体外）：$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$（$E\propto 1/r^2$）。
    电场分布：$r < R$时$E\(E\propto r$，与题图中$r < R$时$E$不随$r$线性增长的特征不符。

选项C：半径为$R$、电荷体密度$\rho=Ar$的非均匀带电球体

电荷体密度$\rho=Ar$（$A$为常数）：

  • 当$r < R$时，高斯面内电荷$q_{in}=\int_0^r \rho\cdot 4\pi r'^2 dr'=\int_0^r Ar\cdot 4\pi r'^2 dr'=4\pi A \int_0^r r'^3 dr'=4\pi A \cdot \frac{r^4}{4}=\pi A r^4$；
  • 由高斯定理：$E\cdot 4\pi r^2=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}=\frac{\pi A r^4}{\varepsilon_0}$，得$E=\frac{A r^2}{4\varepsilon_0}$（$E\propto r^2$）；
  • 当$r \geq R$时，$q_{in}$为总电荷（常数），$E\propto 1/r^2$。
    电场分布：$r < R$时$E\propto r^2$，与题图中$r < R$时$E$的特征不符。

选项D：半径半径为$R$、电荷体密度$\rho=A/r$非均匀带电球体

电荷体密度$\rho=A/r$（$A$为常数）：

  • 当$r < R$时，高斯面内电荷$q_{in}=\int_0^r \rho\cdot 4\pi r'^2 dr'=\int_0^r \frac{A}{r'}\cdot 4\pi r'^2 dr'=4\pi A \int_0^r r' dr'=4\pi AA了父母教育方式对孩子的影响父母教育方式对孩子的影响\pi A \cdot \frac{r^2}{2}=2\pi A r^2$；
  • 由高斯定理$E\cdot 4\pi r^2=\frac{q_{in}}{\varepsilon_0}=\frac{2\pi A r^2}{\varepsilon_0}$，得$E=\frac{A}{2\varepsilon_0}$（$E\(E$为常数，不随$r$变化）；
  • 当$r \geq R$时，$q_{in}$为总电荷（常数），$E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$（$E\propto 1/r^2$）。
    电场分布：$r < R$时$E\(E$为常数，$r \geq R$时$E\propto 1/r^2$，完全符合题图中“$r < R$时$E$不变，$r > R$后$E$随\propto 1/r^2)”的特征。

结论

仅选项D的电场分布与题图一致。