3.7 如图所示,一光滑细杆上端由光滑铰链固定,杆可绕其上端在任意角度的锥面上绕-|||-竖直轴OO`作匀角速度转动.有一小环套在杆的上端处.开始使杆在一个锥面上运动起来,-|||-而后小环由静止开始沿杆下滑.在小环下滑过程中,小环、杆和地球系统的机械能以及小环与-|||-杆对轴OO`的角动量这两个量中 ()-|||-(A)机械能、角动量都守恒 (B)机械能守恒,角动量不守恒-|||-(C)机械不守恒,角动量守恒-|||-(D)机械能、角动量都不守恒-|||-么 么-|||-O`-|||-w-|||-习题3.7图

本题考查机械能守恒定律和角动量守恒定律的应用。解题的关键在于分析系统所受外力做功情况以及外力矩情况，以此判断机械能机械能和角动量是否守恒。

1. 分析系统机械能是否守恒

机械能守恒的条件是只有重力或弹力做功，或者只有重力或弹力做功。

• 对于小环、杆和地球组成的系统，杆对小环的作用力始终与小环的速度方向垂直。因为杆可绕其上端在任意角度的锥面上绕竖直轴$OO'$作匀角速度转动，小环沿杆下滑的速度方向沿杆方向，而杆对小环的作用力方向垂直于杆，根据功的计算公式$W = F\cdot s\cos\theta$（其中$F$是力，$s$是位移，$\theta$是力与位移的夹角），此时$\theta = 90^{\circ}$，$\cos\theta = 0$，所以杆对小环不做功。
• 系统内只有重力做功，满足机械能守恒的条件，所以小环、杆和地球系统的机械能守恒。

2. 分析系统角动量是否守恒

角动量守恒的条件是系统所受合外力矩为零。

• 以轴$OO'$为参考轴，小环和杆组成的系统所受的外力有重力和铰链的作用力。重力方向竖直向下，通过轴$OO'$，其对轴$OO'$的力矩$M = r\times F$（其中$其中\(r$是力的作用点到轴的矢径，$F$是力)，由于重力方向与矢径矢$r$共线，所以重力对轴$OO'$的力矩为零。
• 铰链的作用力通过轴$OO'$轴，其对轴$OO'$的力矩也为零。
• 因此，系统所受合外力矩为零，根据角动量守恒定律，小环与杆对轴$OO'$的角动量守恒。