题目
5-13 设某系统中N个粒子的速率分布曲线如习题 5-13 图所示.试求:(1)常量A以-|||-v0表示;(2)速率在 approx (v)_(0) 之间, https:/img.zuoyebang.cc/zyb_3312b6c44a90d6aa2b2ac96391edd84a.jpg.5(v)_(0)approx 2(v)_(0) 之间的粒子数;(3)粒子的平均速率;(4)速率在-|||-backsim (v)_(0) 之间粒子的平均速率.-|||-f(v)-|||-A-|||-2v0-|||-习题 5-14 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定常量A
根据速率分布函数的归一化条件，所有粒子的速率分布函数的积分应等于粒子总数N。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{2v_{0}} f(v) dv = N
$$
其中，$f(v)$是速率分布函数，$v_{0}$是给定的速率。根据题目中的速率分布曲线，$f(v)$在$0\sim v_{0}$之间为$A$，在$v_{0}\sim 2v_{0}$之间为$2A-v_{0}A/v_{0}$。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{v_{0}} A dv + \int_{v_{0}}^{2v_{0}} (2A - \frac{A}{v_{0}}v) dv = N
$$
解这个方程，可以得到常量A的值。
步骤 2：计算速率在$0\sim v_{0}$之间和$1.5v_{0}\sim 2v_{0}$之间的粒子数
速率在$0\sim v_{0}$之间的粒子数为：
$$
N_{0\sim v_{0}} = \int_{0}^{v_{0}} f(v) dv
$$
速率在$1.5v_{0}\sim 2v_{0}$之间的粒子数为：
$$
N_{1.5v_{0}\sim 2v_{0}} = \int_{1.5v_{0}}^{2v_{0}} f(v) dv
$$
步骤 3：计算粒子的平均速率
粒子的平均速率$\bar{v}$为：
$$
\bar{v} = \frac{1}{N} \int_{0}^{2v_{0}} v f(v) dv
$$
步骤 4：计算速率在$0\sim v_{0}$之间粒子的平均速率
速率在$0\sim v_{0}$之间粒子的平均速率$\bar{v}_{0\sim v_{0}}$为：
$$
\bar{v}_{0\sim v_{0}} = \frac{1}{N_{0\sim v_{0}}} \int_{0}^{v_{0}} v f(v) dv
$$
根据速率分布函数的归一化条件，所有粒子的速率分布函数的积分应等于粒子总数N。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{2v_{0}} f(v) dv = N
$$
其中，$f(v)$是速率分布函数，$v_{0}$是给定的速率。根据题目中的速率分布曲线，$f(v)$在$0\sim v_{0}$之间为$A$，在$v_{0}\sim 2v_{0}$之间为$2A-v_{0}A/v_{0}$。因此，我们有：
$$
\int_{0}^{v_{0}} A dv + \int_{v_{0}}^{2v_{0}} (2A - \frac{A}{v_{0}}v) dv = N
$$
解这个方程，可以得到常量A的值。
步骤 2：计算速率在$0\sim v_{0}$之间和$1.5v_{0}\sim 2v_{0}$之间的粒子数
速率在$0\sim v_{0}$之间的粒子数为：
$$
N_{0\sim v_{0}} = \int_{0}^{v_{0}} f(v) dv
$$
速率在$1.5v_{0}\sim 2v_{0}$之间的粒子数为：
$$
N_{1.5v_{0}\sim 2v_{0}} = \int_{1.5v_{0}}^{2v_{0}} f(v) dv
$$
步骤 3：计算粒子的平均速率
粒子的平均速率$\bar{v}$为：
$$
\bar{v} = \frac{1}{N} \int_{0}^{2v_{0}} v f(v) dv
$$
步骤 4：计算速率在$0\sim v_{0}$之间粒子的平均速率
速率在$0\sim v_{0}$之间粒子的平均速率$\bar{v}_{0\sim v_{0}}$为：
$$
\bar{v}_{0\sim v_{0}} = \frac{1}{N_{0\sim v_{0}}} \int_{0}^{v_{0}} v f(v) dv
$$