13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体内电场线总是平行于导体表面。

本题主要考察静电场和恒定电流场中的边值关系，通过分析电场强度和电流密度在分界面上的切向和法向分量来证明电场线与导体表面的关系。

（1）静电情况下导体外电场线与导体表面垂直的证明

• 首先明确边值关系：在两种介质分界面上，电场强度的切向分量是连续的，即$E_{1t}=E_{2t}$。
• 设导体外表面处电场强度为$\vec{E}$，其方向与法线之间夹角为$\theta$。根据三角函数关系，电场强度$\vec{E}$的切向分量$E_t = E\sin\theta$，法向分量$E_n = E\cos\theta$。
• 在静电情况下，导体内部场强处处为零，即导体内部电场强度的切向分量$E_{内t}=0$。
• 由于在分界面上电场强度的切向分量连续，所以$E_t = E_{内t}$，也就是$E\sin\theta = 0$。
• 因为电场强度$E\neq0$（否则就不存在电场线了），所以$\sin\theta = 0$。
• 根据三角函数的性质，$\sin\theta = 0$时，$\theta = 0$或$\theta=\pi$，在实际情况中，$\theta = 0$表示电场强度$\vec{E}$只有法向分量，即电场线与导体表面垂直。

（2）恒定电流情况下导体内电场线与导体表面平行的证明

• 明确边值关系：在两种介质分界面上，电流密度的法向分量是连续的，即$J_{1n}=J_{2n}$。
• 已知电流密度$\vec{J}=\sigma\vec{E}$，其中$\sigma$是电导率。设导体内表面处电场方向与导体表面夹角为$\alpha$，则电流密度$\vec{J}$与导体表面夹角也是$\alpha$。
• 根据三角函数关系，电流密度$\vec{J}$的法向分量$J_n = J\sin\alpha$，切向分量$J_t = J\cos\alpha$。
• 导体外的电流密度$\vec{J}' = 0$，所以导体外电流密度的法向分量$J_{外n}=0$。
• 由于在分界面上电流密度的法向分量连续，所以$J_n = J_{外n}$，也就是$J\sin\alpha = 0$。
• 因为在恒定电流情况下，导体内部有电流通过，所以电流密度$J\neq0$，那么$\sin\alpha = 0$。
• 根据三角函数的性质，$\sin\alpha = 0$时，$\alpha = 0$或$\alpha=\pi$，在实际情况中，$\alpha = 0$表示电流密度$\vec{J}$只有切向分量。
• 又因为$\vec{J}=\sigma\vec{E}$，$\sigma\neq0$，所以电场强度$\vec{E}$也只有切向分量，即电场线与导体表面平行。