设闭区域D的正向边界L是光滑的简单闭曲线，则不能表示区域D的面积的是（A. int_(L)xdyB. int_(L)ydxC. (1)/(2)int_(L)xdy-ydxD. iint_(D)dxdy

本题考查格林公式的应用，特别是利用曲线积分计算平面区域面积的方法。关键在于理解不同曲线积分形式与区域面积的关系。需注意：

1. 格林公式的转换：将二重积分转化为曲线积分时，需选择适当的被积函数使得其偏导数之差为1；
2. 符号问题：不同曲线积分形式可能导致结果符号不同，需判断是否直接对应面积。

选项分析

选项A：$\int_{L} x \, dy$

• 应用格林公式：令$P=0$，$Q=x$，则$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - 0 = 1$；
• 积分结果：$\int_{L} x \, dy = \iint_{D} 1 \, dx dy = \text{面积}$；
• 结论：能表示面积。

选项B：$\int_{L} y \, dx$

• 应用格林公式：令$P=y$，$Q=0$，则$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 0 - 1 = -1$；
• 积分结果：$\int_{L} y \, dx = \iint_{D} (-1) \, dx dy = -\text{面积}$；
• 结论：结果为面积的相反数，不能直接表示面积。

选项C：$\frac{1}{2} \int_{L} (x \, dy - y \, dx)$

• 应用格林公式：令$P=-y$，$Q=x$，则$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 + 1 = 2$；
• 积分结果：$\frac{1}{2} \int_{L} (x \, dy - y \, dx) = \frac{1}{2} \cdot 2 \iint_{D} 1 \, dx dy = \text{面积}$；
• 结论：能表示面积。

选项D：$\iint_{D} dx dy$

• 直接定义：二重积分$\iint_{D} 1 \, dx dy$即为区域$D$的面积；
• 结论：能表示面积。