填空题3.9若作用于一力学系统上外力的合力为零,则外力的合力矩____________(填一定或不一定)为零;这种情况下力学系统的动量、角动量、机械能三个量中一定守恒的量是________________.解 若作用于一力学系统上外力的合力为零,则外力的合力矩不一定为零,这种情况下力学系统的动量一定守恒。3.10一均匀细直棒,可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转动.使棒从水平位置自由下摆,棒是否作匀角加速转动?________________.理由是________________.解 棒从水平位置自由下摆,所受的合外力矩不等于恒量,根据转动定律 。3.11飞轮半径为0.2 m,转速为150 ,因受制动而均匀减速。经30秒后停止转动,则此段时间内飞轮转过的圈数为______________________。解 飞轮转速为150 ,即;因受制动而均匀减速,;得,飞轮转过的圈数为。3.12如图所示,一质量为m,长为l的均勺细棒,绕图示转轴转动。其转动惯量大小为__________。解 根据连续物体地转动惯量,可得均勺细棒对图示转轴产生的转动惯量大小为。3.13均匀细棒OA可绕通过其一端O而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示。今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆到竖直位置的过程中,角速度变化是___________,角加速度变化是_________________。解 棒从水平位置由静止开始自由下落,,所受的合外力矩为重力矩,重力矩不断变小,角加速度不断变小,角速度不断变大。3.14长为、质量为的均质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定轴转动,转动惯量为,开始时杆竖直下垂,如图所示。现有一质量为的子弹以水平速度射入杆上点,并嵌在杆中. ,则子弹射入后瞬间杆的角速度= 。解 子弹射入杆瞬间前后子弹和杆组成的系统角动量守恒,有,整理得。3.15一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心O并与盘面垂直的轴的转动惯量。解 在圆盘上以和为半径作圆,所取得的质量元为根据连续物体转动惯量的定义有3.16在边长为的六边形顶点上,分别固定有质量都是的6个质点,如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量:(1)设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内,如图所示;(2)设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面,如图所示。解 根据质点系的转动惯量有以Ⅰ为轴转动惯量;以Ⅱ为轴转动惯量;以Ⅲ为轴转动惯量。3.17一半圆形细杆,半径为R,质量为,求对过细杆二端AA`轴的转动惯量。解 半圆的长度为C = πR,质量的线密度为λ = m/C.在半圆上取一弧元ds = Rdθ,其质量为dm = λds,到AA`轴的距离为r = Rsinθ,绕此轴的转动惯量为dJ = rdm = λRsinθdθ,半圆绕AA`轴的转动惯量为3.18一长为1 m的均匀直棒可绕过其一端且与棒垂直的水平光滑固定轴转动.抬起另一端使棒向上与水平面成60°,然后无初转速地将棒释放.已知棒对轴的转动惯量为,其中m和l分别为棒的质量和长度.求: (1) 放手时棒的角加速度;(2) 棒转到水平位置时的角加速度.解(1)根据转动定律棒所受的合外力矩为重力产生的力矩所以 (2)棒转到水平位置时重力产生的力矩3.19以初速度将质量为的质点以倾角从坐标原点处抛出。设质点在Oxy平面内运动,不计空气阻力,以坐标原点为参考点,计算任一时刻:(1)作用在质点上的力矩;(2)质点的角动量。解(1)质点仅受重力作用,质点在任意时刻的位矢为(2)3.20如图所示,一个质量为的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子的质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为、半径为 ,其转动惯量为,试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系。解 受力解如图,可建立方程:┄①┄② ,┄③联立,解得:,,考虑到,∴,有:。或:或:3.21设电风扇的功率恒定不变为,叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比,比例系数为,并已知叶片转子的总转动惯量为。(1)原来静止的电扇通电后秒时刻的角速度;(2)电扇稳定转动时的转速为多大?(3)电扇以稳定转速旋转时,断开电源后风叶还能继续转多少角度?解(1)已知,而动力矩,通电时根据转动定律有:代入两边积分有: ,可求得:;(2)见上式,当时,电扇稳定转动时的转速:;(3)断开电源时,电扇的转速为,只有作用,那么:,考虑到,有:,得: 。3.22有一质量为、长为的均匀细棒,静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上,它可绕通过其端点且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为的小滑块,从侧面垂直于棒与棒的另一端A相碰撞,设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为和,如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕点的转动惯量)解 由碰撞时角动量守恒,考虑到和方向相反,以逆时针方向为正向,有:,得:又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得:,利用,有:,得:。3.23如图所示,滑轮转动惯量为,半径为;物体的质量为,用一细绳与劲度系数的弹簧相连,若绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴上的摩擦忽略不计。求:(1)当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离;(2)物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解(1)设弹簧的形变量为,下落最大距离为。由机械能守恒:,有:;(2)当物体下落时,由机械能守恒:,考虑到,有:,欲求速度最大值,将上式两边对求导,且令,有:,将代入,有:,∴当m时物体速度达最大值,有:,代入数值可算出: 。3.24如图所示,半径分别是和、转动惯量分别是和的两个圆柱体,可绕垂直于图面的轴转动,最初大圆柱体的角速度为,现在将小圆柱体向左靠近,直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力,小圆柱体被带着转动,最后,当相对滑动停止时,两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。试问这种情况角动量是否守恒?为什么?小圆柱的最终角速度多大?解 角动量守恒,因为摩擦力的力矩为0。由,有小圆柱的最终角速度为: 。3.25如图所示,一根长,质量为的均匀直棒,其一端挂在一个水平光滑轴上而静止在竖直位置,今有一子弹,质量为,以水平速度射入棒的下端而不复出。求棒和子弹开始一起运动时的角速度。