题目
单选题（共10题，50.0分） 题型说明：共10题，50分 7.（5.0分）设随机变量X：P(λ)，且P(X=2)=P(X=3)，则λ=（）. A. 2 B. 4 C. 1 D. 3
单选题（共10题，50.0分） 题型说明：共10题，50分 7.（5.0分）设随机变量X：P(λ)，且P{X=2}=P{X=3}，则λ=（）.
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
A. 2
B. 4
C. 1
D. 3
题目解答
答案
根据泊松分布的概率质量函数 $P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$，由题意 $P\{X=2\} = P\{X=3\}$，得：
\[
\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}
\]
消去 $e^{-\lambda}$ 并化简：
\[
\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6} \implies 3\lambda^2 = \lambda^3 \implies \lambda^2(\lambda - 3) = 0
\]
由于 $\lambda > 0$，解得 $\lambda = 3$。
**答案：** $\boxed{D}$
解析
考查要点：本题主要考查泊松分布的概率质量函数及其应用，以及方程求解的能力。
解题核心思路：
- 泊松分布公式：明确泊松分布的概率表达式 $P\{X=k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$。
- 建立方程：根据题目条件 $P\{X=2\} = P\{X=3\}$，代入公式后消去公共因子，化简方程。
- 求解参数：通过代数运算解方程，结合泊松分布参数 $\lambda > 0$ 的性质确定最终解。
破题关键点：
- 消去公共因子 $e^{-\lambda}$ 简化方程。
- 正确处理阶乘（如 $2! = 2$，$3! = 6$）。
- 排除无效解（$\lambda = 0$ 不符合实际意义）。
根据泊松分布的概率质量函数：
$P\{X = k\} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
步骤1：代入条件
题目给出 $P\{X=2\} = P\{X=3\}$，代入公式得：
$\frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^3}{3!}$
步骤2：消去公共因子
两边同时除以 $e^{-\lambda}$，化简为：
$\frac{\lambda^2}{2} = \frac{\lambda^3}{6}$
步骤3：方程变形
交叉相乘得：
$6 \cdot \lambda^2 = 2 \cdot \lambda^3 \implies 3\lambda^2 = \lambda^3$
步骤4：因式分解
移项并分解：
$\lambda^3 - 3\lambda^2 = 0 \implies \lambda^2 (\lambda - 3) = 0$
步骤5：确定解
解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 3$。由于泊松分布参数 $\lambda > 0$，故 $\lambda = 3$。