题目
23.新定义：若存在常数k，使得点P(x，y)满足x^2=-2y+k，y^2=2x+k(x+y≠0)，则称点P为“偶点”.若A(a，16)是“偶点”，则a=____：若抛物线y=-(3)/(4)x^2+4x+c(-1≤x≤4)上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为____.
23.新定义：若存在常数k，使得点P(x，y)满足$x^{2}=-2y+k$，$y^{2}=2x+k(x+y≠0)$，则称点P为“偶点”.若A(a，16)是“偶点”，则a=____：若抛物线$y=-\frac{3}{4}x^{2}+4x+c(-1≤x≤4)$上至少存在一个“偶点”，则c的取值范围为____.
题目解答
答案
1. **求 $a$ 的值：**
由“偶点”定义，得方程组：
\[
\begin{cases}
a^2 = -32 + k \\
256 = 2a + k
\end{cases}
\]
消去 $k$，解得：
\[
a^2 + 2a - 224 = 0 \implies a = 14 \text{ 或 } -16.
\]
**答案：** $14$ 或 $-16$.
2. **求 $c$ 的取值范围：**
将抛物线方程代入“偶点”条件，化简得：
\[
x^2 + 2x + 2y - y^2 = 0 \implies y = x + 2 \text{ 或 } y = -x.
\]
**情况1：** $y = x + 2$
代入抛物线方程，得：
\[
3x^2 - 12x + 8 - 4c = 0.
\]
判别式 $\Delta = 48 + 48c \geq 0 \implies c \geq -1$，且根在 $[-1, 4]$ 内，解得 $c \leq 2$.
**情况2：** $y = -x$
代入得：
\[
3x^2 - 20x - 4c = 0.
\]
判别式 $\Delta = 400 + 48c \geq 0 \implies c \geq -\frac{25}{3}$，但根范围无解.
**答案：** $[-1, 2]$.
\[
\boxed{
\begin{array}{ll}
1. & 14 \text{ 或 } -16 \\
2. & [-1, 2] \\
\end{array}
}
\]