题目
【填空题】设有一刚体作定轴转动,刚体对轴的角动量 L=6t^2 (SI制),则该刚体在 t=1(s) 时所受的合外力矩 M 为____ (N) cdot (m)。
【填空题】设有一刚体作定轴转动,刚体对轴的角动量 $L=6t^2$ (SI制),则该刚体在 $t=1\text{s}$ 时所受的合外力矩 $M$ 为____ $\text{N} \cdot \text{m}$。
题目解答
答案
根据刚体定轴转动定律，$ M = \frac{dL}{dt} $。已知 $ L = 6t^2 $，则：
\[
M = \frac{d}{dt}(6t^2) = 12t
\]
当 $ t = 1 $ 秒时，$ M = 12 \times 1 = 12 \, \text{N·m} $。
答案：12 N·m
解析
本题考查刚体定轴转动定律的应用。解题思路是先明确刚体定轴转动定律的表达式，即合外力矩$M$等于角动量$L$对时间$t$的导数$M = \frac{dL}{dt}$，然后将已知的角动量表达式$L = 6t^2$代入该公式进行求导，得到合外力矩$M$关于时间$t$的表达式，最后将$t = 1s$代入$M$的表达式中计算出此时的合外力矩。
- 根据刚体定轴转动定律求合外力矩$M$关于时间$t$的表达式：
已知刚体定轴转动定律$M = \frac{dL}{dt}$，且$L = 6t^2$，对$L$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得：
$M = \frac{d}{dt}(6t^2)=6\times2t=12t$ - 计算$t = 1s$时的合外力矩$M$：
将$t = 1s$代入$M = 12t$可得：
$M = 12\times1 = 12N\cdot m$