(15分)如图5所示,无限长同轴电缆,内导体半径为a,外导体半径为b,外导体厚度忽略不计,各处的磁导率均为,所通电流为I,求:(1)空间各处的磁场强度;(2)同轴电缆单位长度储存的磁场能量;(3)同轴电缆的单位长度电感。图 5

步骤 1：计算导体内部的磁场强度
根据安培环路定律，对于导体内部（ρ < a）的磁场强度，我们有：
$$
\oint H \cdot dl = I_{enc}
$$
其中，$I_{enc}$ 是穿过环路的电流。由于电流均匀分布在内导体的横截面上，因此有：
$$
I_{enc} = \frac{\pi \rho^2}{\pi a^2} I = \frac{\rho^2}{a^2} I
$$
因此，磁场强度为：
$$
H_1 = \frac{I_{enc}}{2\pi \rho} = \frac{I \rho}{2\pi a^2}
$$
步骤 2：计算内外导体之间的磁场强度
对于内外导体之间（a < ρ < b）的磁场强度，我们有：
$$
\oint H \cdot dl = I
$$
因此，磁场强度为：
$$
H_2 = \frac{I}{2\pi \rho}
$$
步骤 3：计算外导体外部的磁场强度
对于外导体外部（ρ > b）的磁场强度，由于电流被外导体屏蔽，因此磁场强度为零：
$$
H_3 = 0
$$
步骤 4：计算同轴电缆单位长度储存的磁场能量
同轴电缆单位长度储存的磁场能量为：
$$
W_m = \frac{1}{2} \int_v H \cdot B dv = \frac{1}{2} \int_v \mu_0 H^2 dv
$$
其中，$B = \mu_0 H$。因此，我们有：
$$
W_m = \frac{\mu_0}{2} \left[ \int_0^a H_1^2 2\pi r dr + \int_a^b H_2^2 2\pi r dr \right]
$$
代入 $H_1$ 和 $H_2$ 的表达式，我们得到：
$$
W_m = \frac{\mu_0}{2} \left[ \int_0^a \left( \frac{I \rho}{2\pi a^2} \right)^2 2\pi \rho d\rho + \int_a^b \left( \frac{I}{2\pi \rho} \right)^2 2\pi \rho d\rho \right]
$$
计算积分，我们得到：
$$
W_m = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi a^2} \int_0^a \rho^2 d\rho + \frac{\mu_0 I^2}{8\pi} \int_a^b \frac{1}{\rho} d\rho
$$
$$
W_m = \frac{\mu_0 I^2}{8\pi a^2} \left[ \frac{\rho^3}{3} \right]_0^a + \frac{\mu_0 I^2}{8\pi} \left[ \ln \rho \right]_a^b
$$
$$
W_m = \frac{\mu_0 I^2}{24\pi} + \frac{\mu_0 I^2}{8\pi} \ln \frac{b}{a}
$$
步骤 5：计算同轴电缆的单位长度电感
同轴电缆的单位长度电感为：
$$
L = \frac{2W_m}{I^2} = \frac{\mu_0}{4\pi} \left[ \frac{1}{3} + \ln \frac{b}{a} \right]
$$