题目
6.设一圆锥形贮水池,深15m,口径20m,盛满水,今以泵将水吸尽,问要作多少功?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定圆锥形贮水池的体积元素
圆锥形贮水池的底面半径为10m，高为15m。设水的高度为h，则在高度h处的水的半径为 $\dfrac {10}{15}h=\dfrac {2}{3}h$。因此，高度h处的水的体积元素为 $\pi {(\dfrac {2}{3}h)}^{2}dh=\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}dh$。
步骤 2：计算水的重量
水的密度为 $\rho$，重力加速度为g，则高度h处的水的重量为 $\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}\rho gdh$。
步骤 3：计算将水吸尽所需的功
将高度h处的水吸尽所需的功为 $\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}\rho g(15-h)dh$。因此，将整个水池的水吸尽所需的总功为 ${\int }_{0}^{15}\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}\rho g(15-h)dh$。
步骤 4：计算积分
${\int }_{0}^{15}\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}\rho g(15-h)dh=\dfrac {4}{9}\pi \rho g{\int }_{0}^{15}(15{h}^{2}-{h}^{3})dh=\dfrac {4}{9}\pi \rho g[15\dfrac {{h}^{3}}{3}-\dfrac {{h}^{4}}{4}]_{0}^{15}=\dfrac {4}{9}\pi \rho g(15\dfrac {{15}^{3}}{3}-\dfrac {{15}^{4}}{4})=\dfrac {4}{9}\pi \rho g(15\dfrac {3375}{3}-\dfrac {50625}{4})=\dfrac {4}{9}\pi \rho g(16875-12656.25)=\dfrac {4}{9}\pi \rho g(4218.75)=1875\pi \rho g$。
步骤 5：计算最终答案
将水的密度 $\rho$ 取为 $1000kg/{m}^{3}$，重力加速度g取为 $9.8m/{s}^{2}$，则 $1875\pi \rho g=1875\pi \times 1000\times 9.8\approx 5.76975\times {10}^{7}J$。
圆锥形贮水池的底面半径为10m，高为15m。设水的高度为h，则在高度h处的水的半径为 $\dfrac {10}{15}h=\dfrac {2}{3}h$。因此，高度h处的水的体积元素为 $\pi {(\dfrac {2}{3}h)}^{2}dh=\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}dh$。
步骤 2：计算水的重量
水的密度为 $\rho$，重力加速度为g，则高度h处的水的重量为 $\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}\rho gdh$。
步骤 3：计算将水吸尽所需的功
将高度h处的水吸尽所需的功为 $\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}\rho g(15-h)dh$。因此，将整个水池的水吸尽所需的总功为 ${\int }_{0}^{15}\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}\rho g(15-h)dh$。
步骤 4：计算积分
${\int }_{0}^{15}\dfrac {4}{9}\pi {h}^{2}\rho g(15-h)dh=\dfrac {4}{9}\pi \rho g{\int }_{0}^{15}(15{h}^{2}-{h}^{3})dh=\dfrac {4}{9}\pi \rho g[15\dfrac {{h}^{3}}{3}-\dfrac {{h}^{4}}{4}]_{0}^{15}=\dfrac {4}{9}\pi \rho g(15\dfrac {{15}^{3}}{3}-\dfrac {{15}^{4}}{4})=\dfrac {4}{9}\pi \rho g(15\dfrac {3375}{3}-\dfrac {50625}{4})=\dfrac {4}{9}\pi \rho g(16875-12656.25)=\dfrac {4}{9}\pi \rho g(4218.75)=1875\pi \rho g$。
步骤 5：计算最终答案
将水的密度 $\rho$ 取为 $1000kg/{m}^{3}$，重力加速度g取为 $9.8m/{s}^{2}$，则 $1875\pi \rho g=1875\pi \times 1000\times 9.8\approx 5.76975\times {10}^{7}J$。