题目
试根据热力学第三定律证明．在T→0时．表面张力系数与温度无关，即 .
试根据热力学第三定律证明．在T→0时．表面张力系数与温度无关，即
.
.
题目解答
答案
对于表面张力问题．系统的热力学基本微分方程为
dE=TdS+σdA． (1)
由此可得自由能F=E-TS的全微分
dF=-SdT+σdA． (2)
进而，可得麦氏关系
. (3)
根据热力学第三定律，当温度趋于绝对零度时，物质的熵趋于一个与状态参量无关的绝对常量，即
. (4)
利用式(3)知
. (5)
由于只是温度T的函数，与面积A无关，式(5)可表示为
. (6)
dE=TdS+σdA． (1)
由此可得自由能F=E-TS的全微分
dF=-SdT+σdA． (2)
进而，可得麦氏关系
. (3)
根据热力学第三定律，当温度趋于绝对零度时，物质的熵趋于一个与状态参量无关的绝对常量，即
. (4)
利用式(3)知
. (5)
由于只是温度T的函数，与面积A无关，式(5)可表示为
. (6)
解析
步骤 1：热力学基本微分方程
对于表面张力问题，系统的热力学基本微分方程为
\[ dE = TdS + \sigma dA \]
其中，\( E \) 是内能，\( T \) 是温度，\( S \) 是熵，\( \sigma \) 是表面张力系数，\( A \) 是表面积。
步骤 2：自由能的全微分
从基本微分方程出发，可以得到自由能 \( F = E - TS \) 的全微分
\[ dF = dE - TdS - SdT = -SdT + \sigma dA \]
由此，可以得到麦克斯韦关系
\[ \left( \frac{\partial \sigma}{\partial T} \right)_A = \left( \frac{\partial S}{\partial A} \right)_T \]
步骤 3：热力学第三定律的应用
根据热力学第三定律，当温度趋于绝对零度时，物质的熵趋于一个与状态参量无关的绝对常量，即
\[ \lim_{T \to 0} S = S_0 \]
其中，\( S_0 \) 是一个常数。因此，当 \( T \to 0 \) 时，熵 \( S \) 不再随温度变化，即
\[ \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_A = 0 \]
步骤 4：表面张力系数与温度的关系
根据麦克斯韦关系，当 \( T \to 0 \) 时，有
\[ \left( \frac{\partial \sigma}{\partial T} \right)_A = \left( \frac{\partial S}{\partial A} \right)_T = 0 \]
因此，表面张力系数 \( \sigma \) 与温度 \( T \) 无关。
对于表面张力问题，系统的热力学基本微分方程为
\[ dE = TdS + \sigma dA \]
其中，\( E \) 是内能，\( T \) 是温度，\( S \) 是熵，\( \sigma \) 是表面张力系数，\( A \) 是表面积。
步骤 2：自由能的全微分
从基本微分方程出发，可以得到自由能 \( F = E - TS \) 的全微分
\[ dF = dE - TdS - SdT = -SdT + \sigma dA \]
由此，可以得到麦克斯韦关系
\[ \left( \frac{\partial \sigma}{\partial T} \right)_A = \left( \frac{\partial S}{\partial A} \right)_T \]
步骤 3：热力学第三定律的应用
根据热力学第三定律，当温度趋于绝对零度时，物质的熵趋于一个与状态参量无关的绝对常量，即
\[ \lim_{T \to 0} S = S_0 \]
其中，\( S_0 \) 是一个常数。因此，当 \( T \to 0 \) 时，熵 \( S \) 不再随温度变化，即
\[ \left( \frac{\partial S}{\partial T} \right)_A = 0 \]
步骤 4：表面张力系数与温度的关系
根据麦克斯韦关系，当 \( T \to 0 \) 时，有
\[ \left( \frac{\partial \sigma}{\partial T} \right)_A = \left( \frac{\partial S}{\partial A} \right)_T = 0 \]
因此，表面张力系数 \( \sigma \) 与温度 \( T \) 无关。