题目
1-20 如图 1-27 所示,质量为m0的匀质圆盘,绕通-|||-过盘心O的竖直轴在水平面内转动.当圆盘以wo匀速转动-|||-时,有一质量为m的子弹以速度v沿径向射入盘边线处嵌-|||-住.已知圆盘半径为R,求:(1)子弹射入后,圆盘的角速度;-|||-(2)子弹的动能变化.-|||-U-|||-R一-|||-m-|||-图 1-27 习题 1-20 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定子弹射入前圆盘的角动量
圆盘的转动惯量为 $I_0 = \frac{1}{2}m_0R^2$，因此子弹射入前圆盘的角动量为 $L_0 = I_0\omega_0 = \frac{1}{2}m_0R^2\omega_0$。
步骤 2：确定子弹射入后系统的角动量
子弹射入后，子弹和圆盘作为一个整体绕轴转动，子弹的转动惯量为 $I_b = mR^2$，因此子弹射入后系统的转动惯量为 $I = I_0 + I_b = \frac{1}{2}m_0R^2 + mR^2$。根据角动量守恒定律，子弹射入后系统的角动量为 $L = L_0 = I\omega$，其中 $\omega$ 为子弹射入后圆盘的角速度。
步骤 3：计算子弹射入后圆盘的角速度
根据角动量守恒定律，有 $L_0 = I\omega$，即 $\frac{1}{2}m_0R^2\omega_0 = (\frac{1}{2}m_0R^2 + mR^2)\omega$，解得 $\omega = \frac{m_0}{m_0 + 2m}\omega_0$。
步骤 4：计算子弹的动能变化
子弹射入前的动能为 $E_{k0} = \frac{1}{2}mv^2$，子弹射入后的动能为 $E_{k} = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 = \frac{1}{2}mR^2(\frac{m_0}{m_0 + 2m}\omega_0)^2$，因此子弹的动能变化为 $\Delta E_k = E_{k} - E_{k0} = \frac{1}{2}mR^2(\frac{m_0}{m_0 + 2m}\omega_0)^2 - \frac{1}{2}mv^2$。
圆盘的转动惯量为 $I_0 = \frac{1}{2}m_0R^2$，因此子弹射入前圆盘的角动量为 $L_0 = I_0\omega_0 = \frac{1}{2}m_0R^2\omega_0$。
步骤 2：确定子弹射入后系统的角动量
子弹射入后，子弹和圆盘作为一个整体绕轴转动，子弹的转动惯量为 $I_b = mR^2$，因此子弹射入后系统的转动惯量为 $I = I_0 + I_b = \frac{1}{2}m_0R^2 + mR^2$。根据角动量守恒定律，子弹射入后系统的角动量为 $L = L_0 = I\omega$，其中 $\omega$ 为子弹射入后圆盘的角速度。
步骤 3：计算子弹射入后圆盘的角速度
根据角动量守恒定律，有 $L_0 = I\omega$，即 $\frac{1}{2}m_0R^2\omega_0 = (\frac{1}{2}m_0R^2 + mR^2)\omega$，解得 $\omega = \frac{m_0}{m_0 + 2m}\omega_0$。
步骤 4：计算子弹的动能变化
子弹射入前的动能为 $E_{k0} = \frac{1}{2}mv^2$，子弹射入后的动能为 $E_{k} = \frac{1}{2}mR^2\omega^2 = \frac{1}{2}mR^2(\frac{m_0}{m_0 + 2m}\omega_0)^2$，因此子弹的动能变化为 $\Delta E_k = E_{k} - E_{k0} = \frac{1}{2}mR^2(\frac{m_0}{m_0 + 2m}\omega_0)^2 - \frac{1}{2}mv^2$。