一个半径为R的四分之一圆弧质量为，静止放置在光滑水平面上。一个质量为的小球由静止开始从光滑圆弧的顶端开始下滑，则下滑到最低端时小球对圆弧所做的功为（ ）A.B.C.D.

本题考查动量守恒定律、机械能守恒定律和动能定理的综合应用。关键点在于：

1. 系统水平方向动量守恒：圆弧和小球组成的系统在水平方向无外力作用，因此水平方向动量守恒。
2. 机械能守恒：小球下滑过程中，只有重力做功，系统机械能守恒。
3. 动能定理：小球对圆弧做的功等于圆弧获得的动能。

步骤1：动量守恒

系统水平方向动量守恒，设圆弧速度为$v_1$，小球水平速度分量为$v_2$，方向相反：
$m_2 v_2 - m_1 v_1 = 0 \quad \Rightarrow \quad v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$

步骤2：机械能守恒

小球重力势能转化为系统动能：
$m_2 g R = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2$
将$v_2 = \frac{m_1}{m_2} v_1$代入，解得：
$v_1 = \sqrt{\frac{2 m_2 g R}{m_1 + m_2}}$

步骤3：动能定理

小球对圆弧做的功$W$等于圆弧获得的动能：
$W = \frac{1}{2} m_1 v_1^2 = \frac{1}{2} m_1 \cdot \frac{2 m_2 g R}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 m_2^2 g R}{(m_1 + m_2)}$