有两个长直密绕螺线管，线圈的长度及总匝数均相同，横截面半径分别为 r_1 和 r_2，管内充满均匀磁介质，其磁导率分别为 mu_1 和 mu_2。设 r_1 : r_2 = 1 : 2，mu_1 : mu_2 = 2 : 1。现将两个螺线管串联后接在电路中，则通电后两线圈的自感系数之比 L_1 : L_2 与自感磁能之比 pi_({m1)} : pi_({m2)} 分别为[ ]A L_1 : L_2 = 2 : 1，pi_({m1)} : pi_({m2)} = 2 : 1B L_1 : L_2 = 1 : 2，pi_({m1)} : pi_({m2)} = 1 : 2C L_1 : L_2 = 1 : 2，pi_({m1)} : pi_({m2)} = 1 : 1D L_1 : L_2 = 1 : 1，pi_({m1)} : pi_({m2)} = 1 : 1

本题考查长直密绕螺线管自感系数公式以及自感磁能公式的应用。解题思路是先根据长直密绕螺线管自感系数公式求出两螺线管的自感系数，进而得到自感系数之比，再根据自感磁能公式，结合两螺线管串联电流相同的特点，求出自感磁能之比。

1. 计算两螺线管的自感系数：
   • 长直密绕螺线管的自感系数公式为$L = \mu \frac{N^2 S}{l}$，其中$\mu$是磁介质的磁导率，$N$是总匝数，$S$是横截面积，$l$是线圈长度。
   • 对于第一个螺线管，其横截面积$S_1=\pi r_1^2$，磁导率为$\mu_1$，总匝数为$N$，线圈长度为$l$，则自感系数$L_1 = \mu_1 \frac{N^2 S_1}{l}=\mu_1 \frac{N^2 \pi r_1^2}{l}$。
   • 对于第二个螺线管，其横截面积$S_2=\pi r_2^2$，磁导率为$\mu_2$，总匝数为$N$，线圈长度为$l$，则自感系数$L_2 = \mu_2 \frac{N^2 S_2}{l}=\mu_2 \frac{N^2 \pi r_2^2}{l}$。
2. 计算自感系数之比$L_1 : L_2$：
   • 已知$r_1 : r_2 = 1 : 2$，即$r_2 = 2r_1$；$\mu_1 : \mu_2 = 2 : 1$，即$\mu_2=\frac{1}{2}\mu_1$。
   • 将$r_2 = 2r_1$和$\mu_2=\frac{1}{2}\mu_1$代入$L_2$的表达式可得：$L_2 = \frac{1}{2}\mu_1 \frac{N^2 \pi (2r_1)^2}{l}=\frac{1}{2}\mu_1 \frac{N^2 \pi\times4r_1^2}{l}= 2\mu_1 \frac{N^2 \pi r_1^2}{l}$。
   • 所以$\frac{L_1}{L_2}=\frac{\mu_1 \frac{N^2 \pi r_1^2}{l}}{2\mu_1 \frac{N^2 \pi r_1^2}{l}}=\frac{1}{2}$，即$L_1 : L_2 = 1 : 2$。
3. 计算自感磁能之比$W_1 : W_2$：
   • 自感磁能公式为$W = \frac{1}{2} L I^2$，其中$L$是自感系数，$I$是电流。
   • 因为两螺线管串联，所以通过它们的电流$I$相同。
   • 则$W_1 = \frac{1}{2} L_1 I^2$，$W_2 = \frac{1}{2} L_2 I^2$。
   • 那么$\frac{W_1}{W_2}=\frac{\frac{1}{2} L_1 I^2}{\frac{1}{2} L_2 I^2}=\frac{L_1}{L_2}$。
   • 由前面计算可知$L_1 : L_2 = 1 : 2$，所以$W_1 : W_2 = 1 : 2$。