题目
5.设X_(1),X_(2),...,X_(16)是来自总体N(mu,sigma^2)的简单随机样本，样本均值overline(x)=503.75，样本标准差s=6.2，则μ的置信度为0.95的置信区间为____.（结果四舍五入，保留小数点后三位）（可选用的部分数值Phi(1.645)=0.95，Phi(1.96)=0.975，t_(0.05)(15)=1.7531，t_(0.025)(15)=2.1315，t_(0.05)(16)=1.7459，t_(0.025)(16)=2.1199）
5.设$X_{1},X_{2},\cdots,X_{16}$是来自总体$N(\mu,\sigma^{2})$的简单随机样本，样本均值$\overline{x}=503.75$，样本标准差s=6.2，则μ的置信度为0.95的置信区间为____.
（结果四舍五入，保留小数点后三位）
（可选用的部分数值$\Phi(1.645)=0.95$，$\Phi(1.96)=0.975$，
$t_{0.05}(15)=1.7531$，$t_{0.025}(15)=2.1315$，$t_{0.05}(16)=1.7459$，$t_{0.025}(16)=2.1199$）
题目解答
答案
为了求出总体均值 $\mu$ 的置信度为0.95的置信区间，我们使用t分布，因为总体方差 $\sigma^2$ 未知，且样本量较小（n=16）。
1. **确定置信水平和自由度：**
- 置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，所以 $\alpha = 0.05$。
- 自由度 $df = n - 1 = 16 - 1 = 15$。
2. **找到t分布的临界值：**
- 对于双侧置信区间，我们需要 $t_{\alpha/2}(df)$。这里，$\alpha/2 = 0.025$，所以 $t_{0.025}(15) = 2.1315$。
3. **计算标准误差：**
- 样本标准差 $s = 6.2$。
- 样本量 $n = 16$。
- 标准误差 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{6.2}{\sqrt{16}} = \frac{6.2}{4} = 1.55$。
4. **计算 margin of error：**
- Margin of error $E = t_{0.025}(15) \times SE = 2.1315 \times 1.55 \approx 3.304825$。
5. **计算置信区间：**
- 样本均值 $\overline{x} = 503.75$。
- 置信区间为 $\overline{x} \pm E = 503.75 \pm 3.304825$。
6. **确定置信区间的上下限：**
- 下限：$503.75 - 3.304825 \approx 500.445175 \approx 500.445$。
- 上限：$503.75 + 3.304825 \approx 507.054825 \approx 507.055$。
因此，$\mu$ 的置信度为0.95的置信区间为 $\boxed{(500.445, 507.055)}$。
解析
步骤 1：确定置信水平和自由度
- 置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，所以 $\alpha = 0.05$。
- 自由度 $df = n - 1 = 16 - 1 = 15$。
步骤 2：找到t分布的临界值
- 对于双侧置信区间，我们需要 $t_{\alpha/2}(df)$。这里，$\alpha/2 = 0.025$，所以 $t_{0.025}(15) = 2.1315$。
步骤 3：计算标准误差
- 样本标准差 $s = 6.2$。
- 样本量 $n = 16$。
- 标准误差 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{6.2}{\sqrt{16}} = \frac{6.2}{4} = 1.55$。
步骤 4：计算 margin of error
- Margin of error $E = t_{0.025}(15) \times SE = 2.1315 \times 1.55 \approx 3.304825$。
步骤 5：计算置信区间
- 样本均值 $\overline{x} = 503.75$。
- 置信区间为 $\overline{x} \pm E = 503.75 \pm 3.304825$。
步骤 6：确定置信区间的上下限
- 下限：$503.75 - 3.304825 \approx 500.445175 \approx 500.445$。
- 上限：$503.75 + 3.304825 \approx 507.054825 \approx 507.055$。
- 置信水平 $1 - \alpha = 0.95$，所以 $\alpha = 0.05$。
- 自由度 $df = n - 1 = 16 - 1 = 15$。
步骤 2：找到t分布的临界值
- 对于双侧置信区间，我们需要 $t_{\alpha/2}(df)$。这里，$\alpha/2 = 0.025$，所以 $t_{0.025}(15) = 2.1315$。
步骤 3：计算标准误差
- 样本标准差 $s = 6.2$。
- 样本量 $n = 16$。
- 标准误差 $SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{6.2}{\sqrt{16}} = \frac{6.2}{4} = 1.55$。
步骤 4：计算 margin of error
- Margin of error $E = t_{0.025}(15) \times SE = 2.1315 \times 1.55 \approx 3.304825$。
步骤 5：计算置信区间
- 样本均值 $\overline{x} = 503.75$。
- 置信区间为 $\overline{x} \pm E = 503.75 \pm 3.304825$。
步骤 6：确定置信区间的上下限
- 下限：$503.75 - 3.304825 \approx 500.445175 \approx 500.445$。
- 上限：$503.75 + 3.304825 \approx 507.054825 \approx 507.055$。