如图所示,一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定滑轮之间无滑动.假设定滑轮质量为M、半径为R,其转动惯量为dfrac (1)(2)M(R)^2,滑轮轴光滑.试求该物体由静止开始下落的过程中,下落速度与时间的关系.

考查要点：本题主要考查牛顿运动定律与转动定律的综合应用，涉及物体平动与定滑轮转动的关联问题。

解题核心思路：

1. 隔离法分别对物体和滑轮进行受力分析，建立动力学方程；
2. 利用运动学关系（线加速度与角加速度的关系）联立方程；
3. 结合匀加速直线运动公式求解速度。

破题关键点：

• 正确写出物体的受力方程：重力与拉力的合力产生平动加速度；
• 正确应用转动定律：拉力的力矩产生滑轮的角加速度；
• 建立线加速度与角加速度的联系：通过绳子无滑动条件，将物体加速度与滑轮角加速度关联。

步骤1：对物体应用牛顿第二定律

物体受重力$mg$和绳子拉力$T$，沿竖直方向运动，加速度为$a$，有：
$mg - T = ma \tag{1}$

步骤2：对滑轮应用转动定律

滑轮受绳子的拉力$T$产生的力矩$TR$，其转动惯量$J = \dfrac{1}{2}MR^2$，角加速度$\alpha = \dfrac{a}{R}$，根据转动定律：
$TR = J\alpha = \dfrac{1}{2}MR^2 \cdot \dfrac{a}{R}$
化简得：
$T = \dfrac{1}{2}Ma \tag{2}$

步骤3：联立方程求加速度

将式(2)代入式(1)：
$mg - \dfrac{1}{2}Ma = ma$
整理得：
$a = \dfrac{mg}{m + \dfrac{1}{2}M}$

步骤4：求速度与时间的关系

物体初速度为$0$，匀加速运动速度公式为：
$v = at = \dfrac{mg}{m + \dfrac{1}{2}M} \cdot t$