题目
3-7 质量为m的物体,由水平面上点O以初速度v0抛出,v0与水平面成仰角α.若不计-|||-空气阻力,求:(1)物体从发射点O到最高点的过程中,重力的冲量;(2)物体从发射点到落-|||-回至同一水平面的过程中,重力的冲量.
题目解答
答案
解析
本题考查知识点为冲量的计算以及平抛运动的规律。解题的关键在于明确冲量的计算公式$I = Ft$（其中$I$为冲量，$F$为作用力，$t$为作用时间），并结合平抛运动在竖直方向上的运动特点来计算重力作用的时间。
（1）求物体从发射点$O$到最高点的过程中，重力的冲量
- 步骤一：分析物体在竖直方向的运动
物体做斜抛运动，可将其运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动。在竖直方向上，物体的初速度为$v_{0y}=v_{0}\sin\alpha$，加速度为重力加速度$g$，方向竖直向下。 - 步骤二：计算物体从发射点$O$到最高点的时间$t_1$
根据竖直上抛运动的速度公式$v = v_0 - gt$（其中$v$为末速度，$v_0$为初速度，$g$为加速度，$t$为时间），当物体到达最高点时，竖直方向的速度$v = 0$，则有$0 = v_{0}\sin\alpha - gt_1$，解这个方程可得：
$\begin{align*}gt_1&=v_{0}\sin\alpha\\t_1&=\frac{v_{0}\sin\alpha}{g}\end{align*}$ - 步骤三：计算重力的冲量$I_1$
重力$F = mg$，方向竖直向下，根据冲量公式$I = Ft$，可得物体从发射点$O$到最高点的过程中，重力的冲量为：
$I_1 = -mg t_1 = -mg\times\frac{v_{0}\sin\alpha}{g}=-m{v}_{0}\sin \alpha$（负号表示冲量方向竖直向下）
（2）求物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量
- 步骤一：分析物体从发射点到落回同一水平面的时间$t_2$
由于物体从发射点到落回同一水平面，竖直方向的位移为$0$。根据竖直上抛运动的位移公式$y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$（其中$y$为位移，$v_{0y}$为竖直方向初速度，$g$为加速度，$t$为时间），可得$0 = v_{0}\sin\alpha t_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$。
提取公因式$t_2$得$t_2(v_{0}\sin\alpha - \frac{1}{2}gt_2) = 0$，此方程有两个解，$t_2 = 0$（表示发射时刻）和$t_2 = \frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}$（表示落回同一水平面的时刻）。 - 步骤二：计算重力的冲量$I_2$
同样根据冲量公式$I = Ft$，重力$F = mg$，可得物体从发射点到落回至同一水平面的过程中，重力的冲量为：
$I_2 = -mg t_2 = -mg\times\frac{2v_{0}\sin\alpha}{g}=-2m{v}_{0}\sin \alpha$（负号表示冲量方向竖直向下）