3. 用波长为 500(nm) 的单色光，垂直照射到一平面光栅上，测量第二级明纹的衍射角正弦 sin theta = 0.2。求：(1) 光屏上出现条纹的最大级数。(2) 当刻痕部分的宽度是透光部分的两倍时，光屏上共能出现明条纹的条数。

本题主要考查光栅衍射的相关知识，解题关键在于运用光栅方程以及考虑缺级现象。

（1）求光屏上出现条纹的最大级数

• 首先，根据光栅方程$d\sin\theta = m\lambda$，已知第二级明纹（$m = 2$）的衍射角正弦$\sin\theta = 0.2$，波长$\lambda = 500\text{nm}$，将这些值代入光栅方程可求出光栅常数$d$。
  • 由$d\times0.2 = 2\times500\text{nm}$，可得$d=\frac{2\times500\text{nm}}{0.2}=5000\text{nm}$。
• 然后，求最大级数$m_{\text{max}}$。因为$\sin\theta$的取值范围是$[-1,1]$，当$\sin\theta = 1$时，$m$取得最大值，根据光栅方程$d\sin\theta = m\lambda$，可得$m_{\text{max}}=\frac{d}{\lambda}$。
  • 把$d = 5000\text{nm}$，$\lambda = 500\text{nm}$代入，得$m_{\text{max}}=\frac{5000}{500}=10$。
  • 由于衍射条纹是对称分布的，所以最大级数为$m = \pm 10$。

（2）求当刻痕部分的宽度是透光部分的两倍时，光屏上共能出现明条纹的条数

• 当刻痕部分的宽度是透光部分的两倍时，设透光部分宽度为$a$，则刻痕部分宽度为$2a$，那么光栅常数$d=a + 2a = 3a$。
• 当满足$\frac{d}{a}=\frac{m}{k}$（$m$、$k$为整数）时会出现缺级现象，这里$\frac{d}{a}=3$，即$m = 3k$（$k$为整数）的级数缺失。
• 在$m = 0$到$m = \pm 10$范围内，$k$取不同整数时，缺失的级数为$m = \pm 3, \pm 6, \pm 9$。
• 原本$m$从$-10$到$10$共有$2\times10 + 1 = 21$条条纹，减去缺失的$6$条（$\pm 3, \pm 6, \pm 9$），剩余条纹为$m = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 7, \pm 8, \pm 10$，共$21 - 6 = 15$条明条纹。