题目
101.(本题10分)(2277).-|||-一半径 R=1.0cm 的无限长 1/4 圆柱形金属薄片,沿轴向通-|||-有电流 I=10.0A 的电流,设电流在金属片上均匀分布,试求圆柱 8 R-|||-轴线上任意一点P的磁感强度. 8-|||-8-|||-P
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定电流元
取圆柱形金属薄片上的一小段电流元 $dI$，其长度为 $dl$，电流密度为 $J$。由于电流在金属片上均匀分布，电流密度 $J$ 可以表示为 $J = \frac{I}{\frac{1}{4}\pi R^2}$，其中 $I$ 是总电流，$R$ 是圆柱的半径。因此，电流元 $dI$ 可以表示为 $dI = J \cdot dl = \frac{I}{\frac{1}{4}\pi R^2} \cdot dl$。
步骤 2：计算电流元产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，电流元 $dI$ 在空间某点产生的磁感应强度 $dB$ 可以表示为 $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dI \times r}{r^3}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率，$r$ 是电流元到该点的距离，$r^3$ 是距离的立方。由于电流元 $dI$ 与轴线垂直，因此 $dB$ 的方向垂直于电流元和轴线所在的平面。在轴线上任意一点P，$dB$ 的方向可以分解为 $dB_x$ 和 $dB_y$，其中 $dB_x$ 和 $dB_y$ 分别是 $dB$ 在x轴和y轴上的分量。
步骤 3：计算轴线上任意一点P的磁感应强度
由于电流元 $dI$ 在轴线上任意一点P产生的磁感应强度 $dB$ 的方向垂直于电流元和轴线所在的平面，因此 $dB_x$ 和 $dB_y$ 的方向分别为 $-\sin\theta$ 和 $-\cos\theta$，其中 $\theta$ 是电流元 $dI$ 与轴线的夹角。因此，$dB_x$ 和 $dB_y$ 可以表示为 $dB_x = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dI \sin\theta}{r^2}$ 和 $dB_y = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dI \cos\theta}{r^2}$。将 $dI$ 和 $r$ 的表达式代入，可以得到 $dB_x = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2} \sin\theta d\theta$ 和 $dB_y = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2} \cos\theta d\theta$。对 $dB_x$ 和 $dB_y$ 在 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的范围内积分，可以得到轴线上任意一点P的磁感应强度 $B_x$ 和 $B_y$，分别为 $B_x = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta d\theta = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2}$ 和 $B_y = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta d\theta = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2}$。因此，轴线上任意一点P的磁感应强度 $B$ 可以表示为 $B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{\pi^2 R^2}$。方向为 $\alpha = \arctan(B_y / B_x) = 135^\circ$，$\alpha$ 为 $B$ 与x轴正向的夹角。
取圆柱形金属薄片上的一小段电流元 $dI$，其长度为 $dl$，电流密度为 $J$。由于电流在金属片上均匀分布，电流密度 $J$ 可以表示为 $J = \frac{I}{\frac{1}{4}\pi R^2}$，其中 $I$ 是总电流，$R$ 是圆柱的半径。因此，电流元 $dI$ 可以表示为 $dI = J \cdot dl = \frac{I}{\frac{1}{4}\pi R^2} \cdot dl$。
步骤 2：计算电流元产生的磁感应强度
根据毕奥-萨伐尔定律，电流元 $dI$ 在空间某点产生的磁感应强度 $dB$ 可以表示为 $dB = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dI \times r}{r^3}$，其中 $\mu_0$ 是真空磁导率，$r$ 是电流元到该点的距离，$r^3$ 是距离的立方。由于电流元 $dI$ 与轴线垂直，因此 $dB$ 的方向垂直于电流元和轴线所在的平面。在轴线上任意一点P，$dB$ 的方向可以分解为 $dB_x$ 和 $dB_y$，其中 $dB_x$ 和 $dB_y$ 分别是 $dB$ 在x轴和y轴上的分量。
步骤 3：计算轴线上任意一点P的磁感应强度
由于电流元 $dI$ 在轴线上任意一点P产生的磁感应强度 $dB$ 的方向垂直于电流元和轴线所在的平面，因此 $dB_x$ 和 $dB_y$ 的方向分别为 $-\sin\theta$ 和 $-\cos\theta$，其中 $\theta$ 是电流元 $dI$ 与轴线的夹角。因此，$dB_x$ 和 $dB_y$ 可以表示为 $dB_x = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dI \sin\theta}{r^2}$ 和 $dB_y = -\frac{\mu_0}{4\pi} \frac{dI \cos\theta}{r^2}$。将 $dI$ 和 $r$ 的表达式代入，可以得到 $dB_x = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2} \sin\theta d\theta$ 和 $dB_y = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2} \cos\theta d\theta$。对 $dB_x$ 和 $dB_y$ 在 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的范围内积分，可以得到轴线上任意一点P的磁感应强度 $B_x$ 和 $B_y$，分别为 $B_x = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin\theta d\theta = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2}$ 和 $B_y = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos\theta d\theta = -\frac{\mu_0 I}{\pi^2 R^2}$。因此，轴线上任意一点P的磁感应强度 $B$ 可以表示为 $B = \sqrt{B_x^2 + B_y^2} = \frac{\mu_0 I \sqrt{2}}{\pi^2 R^2}$。方向为 $\alpha = \arctan(B_y / B_x) = 135^\circ$，$\alpha$ 为 $B$ 与x轴正向的夹角。