大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中不同高度之间的空气不断发生对流.由于气压随高度而降低,空气上升时膨胀,下降时收缩.空气的热导率很小,膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程.试计算大气温度随高度的变化率(dT)/(dz),并给出数值结果.

本题考查理想气体绝热过程方程、气压随高度变化关系以及微积分知识，解题思路是先根据绝热过程方程和气压随高度变化关系推导出大气温度随高度的变化率表达式，再代入具体数值计算出结果。

1. 根据绝热过程方程求导：
   • 已知在绝热过程中，理想气体满足方程 $T^{\gamma}P^{1 - \gamma}=\text{常数}$，对其两边同时取自然对数可得 $\gamma\ln T+(1 - \gamma)\ln P=\text{常数}$。
   • 然后对等式两边关于高度 $z$ 求导，根据复合函数求导法则 $(\ln u)^\prime=\frac{1}{u}u^\prime$，可得：
     $\frac{\gamma}{T}\frac{dT}{dz}+\frac{1 - \gamma}{P}\frac{dP}{dz}=0$。
   • 移项得到 $\frac{dT}{dz}=-\frac{1 - \gamma}{\gamma}\frac{T}{P}\frac{dP}{dz}$。
2. 引入气压随高度变化关系：
   • 由流体静力学平衡可知，气压随高度的变化关系为 $dP = -\frac{PMg}{RT}dz$，变形可得 $\frac{dP}{dz}=-\frac{Mg}{RT}$。
3. 计算温度随高度的变化率：
   • 将 $\frac{dP}{dz}=-\frac{Mg}{RT}$ 代入 $\frac{dT}{dz}=-\frac{1 - \gamma}{\gamma}\frac{T}{P}\frac{dP}{dz}$ 中，可得：
     $\frac{dT}{dz}=-\frac{1 - \gamma}{\gamma}\frac{T}{P}\left(-\frac{Mg}{RT}\right)$。
   • 化简上式，$T$ 约掉，得到 $\frac{dT}{dz}=-\frac{(\gamma - 1)Mg}{\gamma R}$。
4. 代入数值计算结果：
   • 已知 $\gamma = 1.4$、$M = 0.029\,\text{kg/mol}$、$g = 9.8\,\text{m/s}^2$、$R = 8.314\,\text{J/(mol·K)}$，代入 $\frac{dT}{dz}=-\frac{(\gamma - 1)Mg}{\gamma R}$ 可得：
     $\frac{dT}{dz}=-\frac{(1.4 - 1)\times0.029\times9.8}{1.4\times8.314}$
     $=-\frac{0.4\times0.029\times9.8}{1.4\times8.314}$
     $=-\frac{0.11288}{11.6396}\approx - 0.00976\,\text{K/m}$。
   • 因为 $1\,\text{km}=1000\,\text{m}$，所以 $-0.00976\,\text{K/m}=-0.00976\times1000\,\text{K/km}\approx - 9.8\,\text{K/km}$。