题目
有一厚度为 delta = 50(mm) 的平壁，两侧分别维持在 t_1 = 200^circ(C) 和 t_2 = 50^circ(C) 的恒定温度。平壁材料的导热系数 lambda = 45(W/(m)cdot(K))。试求：(1) 平壁内的温度分布；(2) 通过平壁的热流密度；(3) 若平壁材料的导热系数随温度变化的关系为 lambda = lambda_0 (1 + bt)，其中 lambda_0 = 40(W/(m)cdot(K))，b = 0.001^circ(C)^-1，重新计算通过平壁的热流密度。
有一厚度为 $\delta = 50\text{mm}$ 的平壁，两侧分别维持在 $t_1 = 200^{\circ}\text{C}$ 和 $t_2 = 50^{\circ}\text{C}$ 的恒定温度。平壁材料的导热系数 $\lambda = 45\text{W/(m}\cdot\text{K)}$。试求：
(1) 平壁内的温度分布；
(2) 通过平壁的热流密度；
(3) 若平壁材料的导热系数随温度变化的关系为 $\lambda = \lambda_0 (1 + bt)$，其中 $\lambda_0 = 40\text{W/(m}\cdot\text{K)}$，$b = 0.001^{\circ}\text{C}^{-1}$，重新计算通过平壁的热流密度。
题目解答
答案
1. 根据傅立叶定律，平壁内温度分布为：
\[
t(x) = 200 - 3000 x \quad (x \text{ 单位为 m})
\]
2. 热流密度为：
\[
q = \frac{\lambda (t_1 - t_2)}{\delta} = \frac{45 \times 150}{0.05} = 135000 \, \text{W/m}^2 = 135 \, \text{kW/m}^2
\]
3. 当 $\lambda = \lambda_0 (1 + b t)$ 时：
\[
q = \frac{\lambda_0}{\delta} \left[ (t_1 - t_2) + \frac{b}{2} (t_1^2 - t_2^2) \right] = \frac{40}{0.05} \left[ 150 + \frac{0.001}{2} \times 37500 \right] = 135000 \, \text{W/m}^2
\]
最终结果：
1. $t(x) = 200 - 3000 x$。
2. $q = 135 \, \text{kW/m}^2$。
3. $q = 135 \, \text{kW/m}^2$。