题目
证明:厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
证明:厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
题目解答
答案
证明:厄密算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交。
证一:已知
且当k ≠ l时, (2分)
因为
是厄密算符,它的本征值都是实数,即,所以式的共扼复式可写为 。
以
右乘上式两边并对变量的整个区域积分,得
(2分)
以
左乘式两边,并对变量的整个区域积分得
(2分)
由厄密算符定义,有
(2分)
即上两等式的左边相等,因而这两等式的右边也相等:
或者 
已知,所以
(2分)
这就是我们所要证明的结果:
证二:设为厄密算符,、是的二本征函数,即
, 
, 且
。
。
因
,故有
,
即
与正交,证毕。
解析
步骤 1：定义厄密算符
厄密算符（Hermitian operator）是量子力学中一类重要的算符，其定义为：对于任意两个函数$f(x)$和$g(x)$，如果满足$(f, A g) = (A f, g)$，其中$(\cdot, \cdot)$表示内积，那么算符$A$是厄密算符。厄密算符的本征值是实数，本征函数是正交的。
步骤 2：设$A$为厄密算符，$\phi_1$和$\phi_2$为$A$的本征函数，$\lambda_1$和$\lambda_2$为对应的本征值
假设$A\phi_1 = \lambda_1\phi_1$和$A\phi_2 = \lambda_2\phi_2$，其中$\lambda_1$和$\lambda_2$是实数，$\phi_1$和$\phi_2$是属于不同本征值的本征函数。
步骤 3：证明$\phi_1$和$\phi_2$正交
根据厄密算符的定义，有$(\phi_1, A\phi_2) = (A\phi_1, \phi_2)$。将$A\phi_1 = \lambda_1\phi_1$和$A\phi_2 = \lambda_2\phi_2$代入上式，得到$(\phi_1, \lambda_2\phi_2) = (\lambda_1\phi_1, \phi_2)$。由于$\lambda_1$和$\lambda_2$是实数，可以将它们提到内积外面，得到$\lambda_2(\phi_1, \phi_2) = \lambda_1(\phi_1, \phi_2)$。由于$\lambda_1 \neq \lambda_2$，可以得到$(\phi_1, \phi_2) = 0$，即$\phi_1$和$\phi_2$正交。
厄密算符（Hermitian operator）是量子力学中一类重要的算符，其定义为：对于任意两个函数$f(x)$和$g(x)$，如果满足$(f, A g) = (A f, g)$，其中$(\cdot, \cdot)$表示内积，那么算符$A$是厄密算符。厄密算符的本征值是实数，本征函数是正交的。
步骤 2：设$A$为厄密算符，$\phi_1$和$\phi_2$为$A$的本征函数，$\lambda_1$和$\lambda_2$为对应的本征值
假设$A\phi_1 = \lambda_1\phi_1$和$A\phi_2 = \lambda_2\phi_2$，其中$\lambda_1$和$\lambda_2$是实数，$\phi_1$和$\phi_2$是属于不同本征值的本征函数。
步骤 3：证明$\phi_1$和$\phi_2$正交
根据厄密算符的定义，有$(\phi_1, A\phi_2) = (A\phi_1, \phi_2)$。将$A\phi_1 = \lambda_1\phi_1$和$A\phi_2 = \lambda_2\phi_2$代入上式，得到$(\phi_1, \lambda_2\phi_2) = (\lambda_1\phi_1, \phi_2)$。由于$\lambda_1$和$\lambda_2$是实数，可以将它们提到内积外面，得到$\lambda_2(\phi_1, \phi_2) = \lambda_1(\phi_1, \phi_2)$。由于$\lambda_1 \neq \lambda_2$，可以得到$(\phi_1, \phi_2) = 0$，即$\phi_1$和$\phi_2$正交。