题目

2、两个质量分别为m1和m2的木块A和B,用一个质量忽略不计、-|||-劲度系数为k的弹簧联接起来,放置在光滑水平面上,使A紧靠墙壁,-|||-如图所示.用力推木块B使弹簧压缩x 0,然后释放.已知 m1=m ,m2=-|||-3m,求:(1)释放后,弹簧恢复到原长时B木块的速度为多大?-|||-(2)释放后,A、B两木块速度相等时的瞬时速度的大小。-|||-(3)释放后,弹簧的最大伸长量。-|||-m k m2-|||-A B

题目解答

答案

解析

本题主要考查机械能守恒定律、动量守恒定律的应用。解题的关键在于分析不同阶段系统的能量和动量变化情况，合理选择合适的物理定律进行求解。

（1）求释放后，弹簧恢复到原长时B木块的速度

  • 当弹簧被压缩$x_0$时，弹簧具有弹性势能$E_{p}=\frac{1}{2}kx_0^2$。
  • 释放后，弹簧恢复到原长的过程中，由于水平面光滑，系统只有弹簧弹力做功，机械能守恒。此时弹簧的弹性势能全部转化为B木块的动能。
  • 根据机械能守恒定律$E_{p}=E_{k}$，即$\frac{1}{2}kx_0^2 = \frac{1}{2}m_2v_{B}^2$。
  • 已知$m_2 = 3m$，将其代入上式可得：
    $\begin{align*}\frac{1}{2}kx_0^2&=\frac{1}{2}\times 3m\times v_{B}^2\\v_{B}^2&=\frac{kx_0^2}{3m}\\v_{B}&=\frac{x_0}{\sqrt{3m}}\sqrt{k}\end{align*}$

（2）求释放后，A、B两木块速度相等时的瞬时速度的大小

  • 当弹簧恢复到原长后，A开始运动，之后A、B和弹簧组成的系统在水平方向不受外力，系统动量守恒。
  • 弹簧恢复到原长时，A的速度$v_{A1}=0$，B的速度$v_{B}=\frac{x_0}{\sqrt{3m}}\sqrt{k}$，设A、B两木块速度相等时的瞬时速度为$v$。
  • 根据动量守恒定律$m_2v_{B}=(m_1 + m_2)v$。
  • 已知$m_1 = m$，$m_2 = 3m$，$v_{B}=\frac{x_0}{\sqrt{3m}}\sqrt{k}$，将其代入上式可得：
    $\begin{align*}3m\times\frac{x_0}{\sqrt{3m}}\sqrt{k}&=(m + 3m)v\\3m\times\frac{x_0}{\sqrt{3m}}\sqrt{k}&=4mv\\v&=\frac{3}{4}\times\frac{x_0}{\sqrt{3m}}\sqrt{k}=\frac{3x_0}{4\sqrt{3m}}\sqrt{k}=\frac{\sqrt{3}x_0}{4\sqrt{m}}\sqrt{k}\end{align*}$

（3）求释放后，弹簧的最大伸长量

  • 当A、B两木块速度相等时，弹簧的伸长量最大。
  • 从弹簧恢复到原长到A、B速度相等的过程中，系统机械能守恒。弹簧恢复到原长时，系统的动能为$E_{k1}=\frac{1}{2}m_2v_{B}^2$；A、B速度相等时，系统的动能为$E_{k2}=\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2$，弹簧的弹性势能为$E_{p}'$。
  • 根据机械能守恒定律$E_{k1}=E_{k2}+E_{p}'$，即$\frac{1}{2}m_2v_{B}^2=\frac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2+\frac{1}{2}kx_{max}^2$。
  • 由前面计算可知$v_{B}=\frac{x_0}{\sqrt{3m}}\sqrt{k}$，$v=\frac{\sqrt{3}x_0}{4\sqrt{m}}\sqrt{k}$，$m_1 = m$，$m_2 = 3m$，代入上式可得：
    $\begin{align*}\frac{1}{2}\times 3m\times(\frac{x_0}{\sqrt{3m}}\sqrt{k})^2&=\frac{1}{2}(m + 3m)\times(\frac{\sqrt{3}x_0}{4\sqrt{m}}\sqrt{k})^2+\frac{1}{2}kx_{max}^2\\\frac{3}{2}m\times\frac{kx_0^2}{3m}&=\frac{1}{2}\times 4m\times\frac{3kx_0^2}{16m}+\frac{1}{2}kx_{max}^2\\\frac{1}{2}kx_0^2&=\frac{3}{8}kx_0^2+\frac{1}{2}kx_{max}^2\\\frac{1}{2}kx_{max}^2&=\frac{1}{2}kx_0^2-\frac{3}{8}kx_0^2\\\frac{1}{2}kx_{max}^2&=\frac{1}{8}kx_0^2\\x_{max}^2&=\frac{1}{4}x_0^2\\x_{max}&=\frac{1}{2}x_0\end{align*}$