题目
设总体X sim N(0, sigma^2), X_1, X_2, ldots, X_(10) 是来自总体的样本，当a=时，统计量Y = (a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4))/(sqrt(X_5^2 + ... + X_(10)^2))服从t分布，自由度为（） A (2)/(sqrt(6)), 6 B (sqrt(6))/(2), 6 C (sqrt(6))/(2), 1
设总体$X \sim N(0, \sigma^2)$, $X_1, X_2, \ldots, X_{10}$
是来自总体的样本，当$a=$时，统计量$Y = \frac{a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}}$服从$t$分布，自由度为（）
A $\frac{2}{\sqrt{6}}, 6$
B $\frac{\sqrt{6}}{2}, 6$
C $\frac{\sqrt{6}}{2}, 1$
题目解答
答案
为了确定使统计量 $ Y = \frac{a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}} $ 服从t分布的 $ a $ 的值以及自由度，我们需要分析分子和分母的分布。
1. **分子的分布：**
$ X_1, X_2, X_3, X_4 $ 是来自 $ N(0, \sigma^2) $ 的独立正态随机变量。因此，和 $ X_1 + X_2 + X_3 + X_4 $ 也服从正态分布，均值为0，方差为 $ 4\sigma^2 $。因此，我们有：
\[
X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \sim N(0, 4\sigma^2)
\]
为了标准化这个和，我们除以 $ 2\sigma $：
\[
\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma} \sim N(0, 1)
\]
2. **分母的分布：**
$ X_5, X_6, X_7, X_8, X_9, X_{10} $ 是来自 $ N(0, \sigma^2) $ 的独立正态随机变量。平方和 $ X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2 + X_9^2 + X_{10}^2 $ 服从自由度为6的卡方分布， 缩放因子为 $ \sigma^2 $：
\[
\frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2 + X_9^2 + X_{10}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2_6
\]
因此，我们有：
\[
X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2 + X_9^2 + X_{10}^2 \sim \sigma^2 \chi^2_6
\]
为了标准化这个和，我们取平方根：
\[
\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2 + X_9^2 + X_{10}^2} \sim \sigma \sqrt{\chi^2_6}
\]
3. **形成统计量：**
现在，我们将标准化的分子和分母代入统计量 $ Y $：
\[
Y = \frac{a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}} = \frac{a \cdot 2\sigma \cdot \frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}}{\sigma \sqrt{\chi^2_6}} = \frac{2a \sigma}{\sigma} \cdot \frac{\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}}{\sqrt{\chi^2_6 / 6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{2a}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}}{\sqrt{\chi^2_6 / 6}}
\]
为了使 $ Y $ 服从自由度为6的t分布，$ \frac{2a}{\sqrt{6}} $ 必须等于1：
\[
\frac{2a}{\sqrt{6}} = 1 \implies a = \frac{\sqrt{6}}{2}
\]
因此，统计量 $ Y $ 是：
\[
Y = \frac{\frac{\sqrt{6}}{2}(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}} = \frac{\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}}{\sqrt{\chi^2_6 / 6}} \sim t_6
\]
自由度为6的正确 $ a $ 的值是 $ \frac{\sqrt{6}}{2} $。因此，答案是：
\[
\boxed{B}
\]
解析
本题考查正态分布、卡方分布以及t分布的性质和构造。解题的关键在于分别确定统计量$Y$分子和分母的分布，然后根据t分布的定义来确定$a$的值和自由度。
- 确定分子的分布：
- 已知$X_1, X_2, X_3, X_4$是来自总体$X \sim N(0, \sigma^2)$的独立正态随机变量。
- 根据正态分布的性质：若$X_i \sim N(\mu_i, \sigma_i^2)$，且相互独立，则$\sum_{i = 1}^{n} X_i \sim N(\sum_{i = 1}^{n} \mu_i, \sum_{i = 1}^{n} \sigma_i^2)$。
- 对于$X_1, X_2, X_3, X_4$，有$\mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4 = 0$，$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_4^2 = \sigma^2$，所以$X_1 + X_2 + X_3 + X_4 \sim N(0, 4\sigma^2)$。
- 为了将其标准化，令$Z_1=\frac{X_1 + X_2 + X_3 + X_4}{2\sigma}$，根据正态分布标准化的性质，$Z_1 \sim N(0, 1)$。
- 确定分母的分布：
- 已知$X_5, X_6, X_7, X_8, X_9, X_{10}$是来自总体$X \sim N(0, \sigma^2)$的独立正态随机变量。
- 根据卡方分布的定义：若$X_i \sim N(0, 1)$，且相互独立，则$\sum_{i = 1}^{n} X_i^2 \sim \chi^2(n)$。
- 对于$X_5, X_6, X_7, X_8, X_9, X_{10}$，先将其标准化，$\frac{X_i}{\sigma} \sim N(0, 1)$，$i = 5,6,\cdots,10$，那么$\sum_{i = 5}^{10} (\frac{X_i}{\sigma})^2=\frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2 + X_9^2 + X_{10}^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(6)$。
- 令$Z_2=\frac{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2 + X_9^2 + X_{10}^2}{\sigma^2}$，则$Z_2 \sim \chi^2(6)$，且$\sqrt{X_5^2 + X_6^2 + X_7^2 + X_8^2 + X_9^2 + X_{10}^2}=\sigma\sqrt{Z_2}$。
- 根据t分布的定义确定$a$的值和自由度：
- t分布的定义为：若$Z \sim N(0, 1)$，$U \sim \chi^2(n)$，且$Z$与$U$相互独立，则$T=\frac{Z}{\sqrt{\frac{U}{n}}} \sim t(n)$。
- 对于统计量$Y = \frac{a(X_1 + X_2 + X_3 + X_4)}{\sqrt{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}}$，将$X_1 + X_2 + X_3 + X_4 = 2\sigma Z_1$和$\sqrt{X_5^2 + \cdots + X_{10}^2}=\sigma\sqrt{Z_2}$代入可得：
$Y = \frac{a\cdot 2\sigma Z_1}{\sigma\sqrt{Z_2}}=\frac{2a Z_1}{\sqrt{Z_2}}$。 - 为了使$Y$服从t分布，需要将其变形为$Y=\frac{2a}{\sqrt{6}}\cdot\frac{Z_1}{\sqrt{\frac{Z_2}{6}}}$。
- 根据t分布的定义，要使$Y$服从t分布，则$\frac{2a}{\sqrt{6}} = 1$，解方程$\frac{2a}{\sqrt{6}} = 1$，两边同时乘以$\sqrt{6}$得$2a=\sqrt{6}$，再两边同时除以$2$，解得$a = \frac{\sqrt{6}}{2}$。
- 此时$Y=\frac{Z_1}{\sqrt{\frac{Z_2}{6}}} \sim t(6)$，所以自由度为$6$。