题目
一做定轴转动的刚体，对转轴的转动惯量J=3.0 (kgm)^2，角速度omega_0为8.0 (rad/s)，对物体加一恒定制动力矩M=-12 (Nm)，当物体的角速度减慢到4.0 (rad/s)时，物体已转过的角度为____(rad)，此过程中力矩做的功W=____(J)。
一做定轴转动的刚体，对转轴的转动惯量$J=3.0\ \text{kgm}^2$，角速度$\omega_0$为$8.0\ \text{rad/s}$，对物体加一恒定制动力矩$M=-12\ \text{Nm}$，当物体的角速度减慢到$4.0\ \text{rad/s}$时，物体已转过的角度为____$\text{rad}$，此过程中力矩做的功$W=$____$\text{J}$。
题目解答
答案
根据转动定律 $ M = J \alpha $，可得 $ \alpha = \frac{M}{J} = \frac{-12}{3.0} = -4.0 \, \text{rad/s}^2 $。
由运动学公式 $ \omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha \theta $，代入 $ \omega = 4.0 \, \text{rad/s} $、$ \omega_0 = 8.0 \, \text{rad/s} $，得：
\[
16 = 64 - 8 \theta \implies \theta = 6.0 \, \text{rad}
\]
力矩做的功为：
\[
W = M \theta = -12 \times 6.0 = -72 \, \text{J}
\]
或由动能变化 $ W = \Delta K = \frac{1}{2} J (\omega^2 - \omega_0^2) = \frac{1}{2} \times 3.0 \times (16 - 64) = -72 \, \text{J} $。
答案：
第一空：6.0 rad
第二空：-72 J
解析
本题主要考查刚体定轴转动定律、转动运动学公式以及力矩做功和动能定理在刚体转动中的应用。解题思路如下：
- 首先根据刚体定轴转动定律$M = J\alpha$求出刚体的角加速度$\alpha$。
- 已知转动惯量$J = 3.0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$，制动力矩$M = - 12\ \text{N}\cdot\text{m}$，将其代入转动定律公式$\alpha=\frac{M}{J}$，可得：
$\alpha=\frac{-12}{3.0}=-4.0\ \text{rad/s}^2$
- 已知转动惯量$J = 3.0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$，制动力矩$M = - 12\ \text{N}\cdot\text{m}$，将其代入转动定律公式$\alpha=\frac{M}{J}$，可得：
- 然后利用转动运动学公式$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\theta$求出刚体角速度从$\omega_{0}$减慢到$\omega$时转过的角度$\theta$。
- 已知$\omega = 4.0\ \text{rad/s}$，$\omega_{0}=8.0\ \text{rad/s}$，$\alpha=-4.0\ \text{rad/s}^2$，将这些值代入公式$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\theta$，得到：
$4.0^{2}=8.0^{2}+2\times(-4.0)\times\theta$
即$16 = 64 - 8\theta$。 - 移项可得$8\theta=64 - 16$，即$8\theta = 48$。
- 两边同时除以$8$，解得$\theta=\frac{48}{8}=6.0\ \text{rad}$。
- 已知$\omega = 4.0\ \text{rad/s}$，$\omega_{0}=8.0\ \text{rad/s}$，$\alpha=-4.0\ \text{rad/s}^2$，将这些值代入公式$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2\alpha\theta$，得到：
- 最后求此过程中力矩做的功$W$，可以用两种方法：
- 方法一：根据力矩做功公式$W = M\theta$计算。
已知$M = - 12\ \text{N}\cdot\text{m}$，$\theta = 6.0\ \text{rad}$，将其代入公式可得：
$W=-12\times6.0=-72\ \text{J}$ - 方法二：根据动能定理$W=\Delta K=\frac{1}{2}J(\omega^{2}-\omega_{0}^{2})$计算。
已知$J = 3.0\ \text{kg}\cdot\text{m}^2$，$\omega = 4.0\ \text{rad/s}$，$\omega_{0}=8.0\ \text{rad/s}$，将其代入公式可得：
$W=\frac{1}{2}\times3.0\times(4.0^{2}-8.0^{2})=\frac{1}{2}\times3.0\times(16 - 64)=\frac{1}{2}\times3.0\times(-48)=-72\ \text{J}$
- 方法一：根据力矩做功公式$W = M\theta$计算。