波速为4m/s的平面简谐波沿x轴的负方向传播。如果这列波使位于原点的质元作y=3cosdfrac(pi )(2)t(cm)的振动，那么位于x=4m处质元的振动方程应为(   )A.y=3cosdfrac(mathrm{pi )}(2)t(cm)B.y=-3cosdfrac(pi )(2)t(cm)C.y=3sindfrac(pi )(2)t(cm)D.y=-3sindfrac(pi )(2)t(cm)

本题考查平面简谐波方程的相关知识。解题的关键思路是先根据原点处质元的振动方程确定波的振幅和角频率，再结合波速求出波数，进而得到平面简谐波的方程，最后将$x = 4m$代入波方程得到该位置质元的振动方程。

1. 确定波的振幅$A$和角频率$\omega$：
   已知原点处质元的振动方程为$y = 3\cos\frac{\pi}{2}t(cm)$，根据简谐振动方程的一般形式$y = A\cos(\omega t+\varphi)$（其中$A$为振幅，$\omega$为角频率，$\varphi$为初相位），可得振幅$A = 3cm$，角频率$\omega=\frac{\pi}{2}rad/s$。
2. 计算波数$k$：
   波数$k$与波速$u$和角频率$\omega$的关系为$k=\frac{\omega}{u}$，已知波速$u = 4m/s$，$\omega=\frac{\pi}{2}rad/s$，将其代入可得：
   $k=\frac{\frac{\pi}{2}}{4}=\frac{\pi}{8}m^{-1}$
3. 写出平面简谐波方程：
   因为波沿$x$轴负方向传播，所以平面简谐波方程的一般形式为$y = A\cos(\omega t + kx)$，将$A = 3cm$，$\omega=\frac{\pi}{2}rad/s$，$k=\frac{\pi}{8}m^{-1}$代入可得：
   $y = 3\cos(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{8}x)(cm)$
4. 求$x = 4m$处质元的振动方程：
   将$x = 4m$代入平面简谐波方程$y = 3\cos(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{8}x)(cm)$中，可得：
   $y = 3\cos(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{8}\times4)=3\cos(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{2})$
   根据三角函数诱导公式$\cos(\alpha+\frac{\pi}{2})=-\sin\alpha$，则$3\cos(\frac{\pi}{2}t+\frac{\pi}{2})=-3\sin\frac{\pi}{2}t(cm)$