题目
一弹簧振子，弹簧劲度系数为k=25N/m，当振子以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答：(1)振幅是多大？(2)位移是多大时，势能和动能相等？(3)位移是振幅的一半时，势能多大？
一弹簧振子，弹簧劲度系数为$k=25N/m$，当振子以初动能0.2J和初势能0.6J振动时，试回答：
(1)振幅是多大？
(2)位移是多大时，势能和动能相等？
(3)位移是振幅的一半时，势能多大？
题目解答
答案
【答案】
(1)$0.25m$；(2)$\pm 0.18m$；(3)$0.2J$
【解析】
(1)振幅$A=\sqrt{\dfrac{2E}{k}}=\sqrt{\dfrac{2\left({E}_{k}+{E}_{p}\right)}{k}}=\sqrt{\dfrac{2\times \left(0.2+0.6\right)}{25}}\approx 0.25m$；
(2)当${E}_{p}={E}_{k}$时，${E}_{p}=\dfrac{1}{2}k{x}^{2}=\dfrac{1}{2}E=\dfrac{1}{2}k{A}^{2}/2$
$x=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}A=\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}\times 0.25\approx \pm 0.18\left(m\right)$
(3)位移是振幅的一半时，势能为${E}_{p}=\dfrac{1}{2}k{\left(\dfrac{A}{2}\right)}^{2}=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2}k{A}^{2}\right)=\dfrac{1}{4}\left(0.2+0.6\right)=0.2\left(J\right)$
解析
步骤 1：计算振幅
根据弹簧振子的总能量公式$E=\dfrac{1}{2}kA^2$，其中$E$是总能量，$k$是弹簧的劲度系数，$A$是振幅。总能量$E$等于初动能和初势能之和，即$E=E_k+E_p$。将已知的$k$、$E_k$和$E_p$值代入公式，解出振幅$A$。
步骤 2：计算势能和动能相等时的位移
当势能和动能相等时，有${E}_{p}={E}_{k}=\dfrac{1}{2}E$。根据势能公式${E}_{p}=\dfrac{1}{2}kx^2$，解出位移$x$。
步骤 3：计算位移是振幅一半时的势能
当位移是振幅的一半时，即$x=\dfrac{A}{2}$，根据势能公式${E}_{p}=\dfrac{1}{2}kx^2$，代入$x=\dfrac{A}{2}$，解出势能${E}_{p}$。
根据弹簧振子的总能量公式$E=\dfrac{1}{2}kA^2$，其中$E$是总能量，$k$是弹簧的劲度系数，$A$是振幅。总能量$E$等于初动能和初势能之和，即$E=E_k+E_p$。将已知的$k$、$E_k$和$E_p$值代入公式，解出振幅$A$。
步骤 2：计算势能和动能相等时的位移
当势能和动能相等时，有${E}_{p}={E}_{k}=\dfrac{1}{2}E$。根据势能公式${E}_{p}=\dfrac{1}{2}kx^2$，解出位移$x$。
步骤 3：计算位移是振幅一半时的势能
当位移是振幅的一半时，即$x=\dfrac{A}{2}$，根据势能公式${E}_{p}=\dfrac{1}{2}kx^2$，代入$x=\dfrac{A}{2}$，解出势能${E}_{p}$。