题目
曲线 ^3+(y)^3=(y)^2 的斜渐近线方程为 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定斜渐近线的存在性
斜渐近线的存在性由 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {y}{x}$ 是否存在决定。若存在，记为k。
步骤 2：计算斜率k
方程两端同时除以 ${x}^{3}$ 可得， $1+{(\dfrac {y}{x})}^{3}={(\dfrac {y}{x})}^{2}\cdot \dfrac {1}{x}$ 。令x→∞，可得 $1+{k}^{3}=0$ ，解得 k=-1。
步骤 3：计算截距b
考虑 $\lim _{x\rightarrow \infty }[ y-(-x)] $ ，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }(y+x)$ 。由 ${x}^{3}+{y}^{3}={y}^{2}$ 可得， $x+y=\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}=\dfrac {{(\dfrac {y}{x})}^{2}}{1-\dfrac {y}{x}+{(\dfrac {y}{x})}^{2}}$ 。因此， $\lim _{x\rightarrow \infty }(y+x)=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{(x)}^{2}}{1-\dfrac {y}{x}+{(\dfrac {x}{x})}^{2}}=\dfrac {1}{1-(-1)+1}=\dfrac {1}{3}$ 。
斜渐近线的存在性由 $\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {y}{x}$ 是否存在决定。若存在，记为k。
步骤 2：计算斜率k
方程两端同时除以 ${x}^{3}$ 可得， $1+{(\dfrac {y}{x})}^{3}={(\dfrac {y}{x})}^{2}\cdot \dfrac {1}{x}$ 。令x→∞，可得 $1+{k}^{3}=0$ ，解得 k=-1。
步骤 3：计算截距b
考虑 $\lim _{x\rightarrow \infty }[ y-(-x)] $ ，即 $\lim _{x\rightarrow \infty }(y+x)$ 。由 ${x}^{3}+{y}^{3}={y}^{2}$ 可得， $x+y=\dfrac {{y}^{2}}{{x}^{2}-xy+{y}^{2}}=\dfrac {{(\dfrac {y}{x})}^{2}}{1-\dfrac {y}{x}+{(\dfrac {y}{x})}^{2}}$ 。因此， $\lim _{x\rightarrow \infty }(y+x)=\lim _{x\rightarrow \infty }\dfrac {{(x)}^{2}}{1-\dfrac {y}{x}+{(\dfrac {x}{x})}^{2}}=\dfrac {1}{1-(-1)+1}=\dfrac {1}{3}$ 。