题目
(本题10分) 一根放在水平光滑桌面上的匀质棒,可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动.棒的质量为m = 1.5 kg,长度为l = 1.0 m,对轴的转动惯量为J = .初始时棒静止.今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端,并留在棒中,如图所示.子弹的质量为m= 0.020 kg,速率为v = 400 m·s-1.试问:(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度有多大? (2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N·m的恒定阻力矩作用,棒能转过多大的角度?
(本题10分)
一根放在水平光滑桌面上的匀质棒,可绕通过其一端的竖直固定光滑轴O转动.棒的质量为m = 1.5 kg,长度为l = 1.0 m,对轴的转动惯量为J = .初始时棒静止.今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端,并留在棒中,如图所示.子弹的质量为m= 0.020 kg,速率为v = 400 m·s-1.试问:
(1) 棒开始和子弹一起转动时角速度有多大?
(2) 若棒转动时受到大小为Mr = 4.0 N·m的恒定阻力矩作用,棒能转过多大的角度?
题目解答
答案
解:(1) 角动量守恒:
2分
∴ 
=15.4 rad·s-1 2分
(2) -Mr=(
+
) 2分 0-2=2 2分
∴ 
=15.4 rad 2分
解析
步骤 1：应用角动量守恒定律
子弹射入棒中，由于系统受到的外力矩为零，因此系统的角动量守恒。初始时，子弹具有线动量，而棒静止。子弹射入棒后，子弹和棒一起绕轴转动，此时系统的角动量等于子弹的线动量乘以距离轴心的距离，即子弹的线动量乘以棒的长度。根据角动量守恒定律，有：
$m'vl=(\dfrac {1}{3}m{l}^{2}+m'{l}^{2})\omega $
步骤 2：计算角速度
将已知数值代入上述公式，计算出棒开始和子弹一起转动时的角速度$\omega$。
步骤 3：应用转动动能定理
棒在转动过程中受到恒定阻力矩的作用，根据转动动能定理，阻力矩所做的功等于转动动能的变化量。初始时，棒和子弹的转动动能为$\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}$，其中$I$为棒和子弹的转动惯量。最终，棒停止转动，转动动能为零。根据转动动能定理，有：
$-Mr\theta=\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}-0$
步骤 4：计算棒转动的角度
将已知数值代入上述公式，计算出棒能转过的角度$\theta$。
子弹射入棒中，由于系统受到的外力矩为零，因此系统的角动量守恒。初始时，子弹具有线动量，而棒静止。子弹射入棒后，子弹和棒一起绕轴转动，此时系统的角动量等于子弹的线动量乘以距离轴心的距离，即子弹的线动量乘以棒的长度。根据角动量守恒定律，有：
$m'vl=(\dfrac {1}{3}m{l}^{2}+m'{l}^{2})\omega $
步骤 2：计算角速度
将已知数值代入上述公式，计算出棒开始和子弹一起转动时的角速度$\omega$。
步骤 3：应用转动动能定理
棒在转动过程中受到恒定阻力矩的作用，根据转动动能定理，阻力矩所做的功等于转动动能的变化量。初始时，棒和子弹的转动动能为$\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}$，其中$I$为棒和子弹的转动惯量。最终，棒停止转动，转动动能为零。根据转动动能定理，有：
$-Mr\theta=\dfrac {1}{2}I{\omega }^{2}-0$
步骤 4：计算棒转动的角度
将已知数值代入上述公式，计算出棒能转过的角度$\theta$。