题目
2是常量. (1) 求t 时刻质点的总加速度; (2) t 为何值时总加速度在数值上等 于b?(3) 当加速度达到 b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?
2
是常量. (1) 求t 时刻质点的总加速度; (2) t 为何值时总加速度在数值上等 于b?(3) 当加速度达到 b 时,质点已沿圆周运行了多少圈?
题目解答
答案
分析 在自然坐标中 ,s 表示圆周上从某一点开始的曲线坐标.由给定 的运动方程 s =s(t),对时间 t 求一阶、二阶导数 ,即是沿曲线运动的速度 v 和 加速度的切向分量 at,而加速度的法向分量为 an=v2 /R.这样 ,总加速度为 a =atet+anen.至于质点在 t 时间内通过的路程 ,即为曲线坐标的改变量 Δs=
st -s0.因圆周长为 2πR,质点所转过的圈数自然可求得.
解 (1) 质点作圆周运动的速率为
其加速度的切向分量和法向分量分别为
故加速度的大小为 其方向与切线之间的夹角为
由特定时刻的速度值可得相应的角速度 ,从而求出式中的比例系数 k,ω=ω(t)
确定后 ,注意到运动的角量描述与线量描述的相应关系 ,由运动学中两类问题
求解的方法 (微分法和积分法 ),即可得到特定时刻的角加速度、 切向加速度和 角位移.
解 因ωR=v,由题意ω∝t2 得比例系数
ω ω(t) 2t
则t′=s时的角速度、角加速度和切向加速度分别为
总加速度
在s内该点所转过的角度
解析
步骤 1：求质点的速度
给定质点的运动方程为 \(s = \frac{1}{2}bt^2\)，其中 \(s\) 是质点沿圆周运动的弧长，\(b\) 是常量。首先，我们求出质点的速度 \(v\)，即 \(s\) 对时间 \(t\) 的一阶导数。
\[v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}bt^2\right) = bt\]
步骤 2：求质点的加速度
接下来，我们求出质点的加速度 \(a\)，即 \(v\) 对时间 \(t\) 的一阶导数。
\[a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(bt) = b\]
这里，加速度 \(a\) 是质点的切向加速度 \(a_t\)，因为质点沿圆周运动，其加速度可以分解为切向加速度和法向加速度。由于 \(a_t = b\)，我们还需要求出法向加速度 \(a_n\)。
\[a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(bt)^2}{R} = \frac{b^2t^2}{R}\]
其中，\(R\) 是圆周的半径。
步骤 3：求总加速度
总加速度 \(a\) 是切向加速度 \(a_t\) 和法向加速度 \(a_n\) 的矢量和。因此，总加速度的大小为
\[a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{b^2 + \left(\frac{b^2t^2}{R}\right)^2} = b\sqrt{1 + \frac{b^2t^4}{R^2}}\]
步骤 4：求总加速度等于 \(b\) 时的时间 \(t\)
当总加速度等于 \(b\) 时，我们有
\[b = b\sqrt{1 + \frac{b^2t^4}{R^2}}\]
解此方程，得到
\[1 = \sqrt{1 + \frac{b^2t^4}{R^2}}\]
\[1 = 1 + \frac{b^2t^4}{R^2}\]
\[\frac{b^2t^4}{R^2} = 0\]
\[t^4 = 0\]
\[t = 0\]
因此，当 \(t = 0\) 时，总加速度等于 \(b\)。
步骤 5：求质点已沿圆周运行了多少圈
当 \(t = 0\) 时，质点的弧长 \(s = \frac{1}{2}bt^2 = 0\)，即质点没有沿圆周运行。因此，质点已沿圆周运行了 \(0\) 圈。
给定质点的运动方程为 \(s = \frac{1}{2}bt^2\)，其中 \(s\) 是质点沿圆周运动的弧长，\(b\) 是常量。首先，我们求出质点的速度 \(v\)，即 \(s\) 对时间 \(t\) 的一阶导数。
\[v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}bt^2\right) = bt\]
步骤 2：求质点的加速度
接下来，我们求出质点的加速度 \(a\)，即 \(v\) 对时间 \(t\) 的一阶导数。
\[a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(bt) = b\]
这里，加速度 \(a\) 是质点的切向加速度 \(a_t\)，因为质点沿圆周运动，其加速度可以分解为切向加速度和法向加速度。由于 \(a_t = b\)，我们还需要求出法向加速度 \(a_n\)。
\[a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(bt)^2}{R} = \frac{b^2t^2}{R}\]
其中，\(R\) 是圆周的半径。
步骤 3：求总加速度
总加速度 \(a\) 是切向加速度 \(a_t\) 和法向加速度 \(a_n\) 的矢量和。因此，总加速度的大小为
\[a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{b^2 + \left(\frac{b^2t^2}{R}\right)^2} = b\sqrt{1 + \frac{b^2t^4}{R^2}}\]
步骤 4：求总加速度等于 \(b\) 时的时间 \(t\)
当总加速度等于 \(b\) 时，我们有
\[b = b\sqrt{1 + \frac{b^2t^4}{R^2}}\]
解此方程，得到
\[1 = \sqrt{1 + \frac{b^2t^4}{R^2}}\]
\[1 = 1 + \frac{b^2t^4}{R^2}\]
\[\frac{b^2t^4}{R^2} = 0\]
\[t^4 = 0\]
\[t = 0\]
因此，当 \(t = 0\) 时，总加速度等于 \(b\)。
步骤 5：求质点已沿圆周运行了多少圈
当 \(t = 0\) 时，质点的弧长 \(s = \frac{1}{2}bt^2 = 0\)，即质点没有沿圆周运行。因此，质点已沿圆周运行了 \(0\) 圈。