题目

已知幂函数f（x）=x^2m^2-m-6（m∈Z）在区间（0，+∞）上是减函数．（1）求函数f（x）的解析式；（2）讨论函数f（x）的奇偶性和单调性；（3）求函数f（x）的值域．

已知幂函数$f（x）=x^{2m^2-m-6}（m∈Z）$在区间（0，+∞）上是减函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的奇偶性和单调性；
（3）求函数f（x）的值域．

题目解答

答案

解：（1）∵幂函数$f（x）=x^{2m^2-m-6}（m∈Z）$在区间（0，+∞）上是减函数，
∴2m2-m-6＜0，求得-$\frac{3}{2}$＜m＜2，
故整数m=-1，0，1．
当m=-1时，f（x）=x-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$；
当m=0时，f（x）=x-6=$\frac{1}{{x}^{6}}$；
当m=1时，f（x）=x-5=$\frac{1}{{x}^{5}}$．
综上，函数f（x）=x-3 或f（x）=x-5或f（x）=x-6．
（2）当f（x）=x-3或f（x）=x-5时，函数为奇函数，在（-∞，0）上单调第减；在（0，+∞）上单调第减．
当f（x）=x-6时，函数为偶函数，函数在（-∞，0）上单调递增；在（0，+∞）上单调递减．
（3）当f（x）=x-3或f（x）=x-5时，它们的值域为（-∞，0）∪（0，+∞）；
当f（x）=x-6时，它的值域为（0，+∞）．

解析

步骤 1：确定幂函数的指数条件
幂函数$f（x）=x^{2m^2-m-6}（m∈Z）$在区间（0，+∞）上是减函数，意味着指数$2m^2-m-6$必须小于0。因此，我们有不等式$2m^2-m-6<0$。

步骤 2：求解不等式
解不等式$2m^2-m-6<0$，首先求解对应的方程$2m^2-m-6=0$。通过求根公式，得到$m=\frac{1\pm\sqrt{1+48}}{4}=\frac{1\pm7}{4}$，即$m=-\frac{3}{2}$或$m=2$。因此，不等式的解集为$-\frac{3}{2}
步骤 3：确定整数解
由于$m∈Z$，在$-\frac{3}{2}
步骤 4：确定函数解析式
将$m=-1,0,1$分别代入$f（x）=x^{2m^2-m-6}$，得到$f（x）=x^{-3}$，$f（x）=x^{-6}$，$f（x）=x^{-5}$。

步骤 5：讨论奇偶性和单调性
- 当$f（x）=x^{-3}$或$f（x）=x^{-5}$时，函数为奇函数，在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递减。
- 当$f（x）=x^{-6}$时，函数为偶函数，在（-∞，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减。

步骤 6：确定值域
- 当$f（x）=x^{-3}$或$f（x）=x^{-5}$时，值域为（-∞，0）∪（0，+∞）。
- 当$f（x）=x^{-6}$时，值域为（0，+∞）。