[题目] lim _(xarrow 0)(dfrac (1)({sin )^2x}-dfrac ({cos )^2x}({x)^2})= __

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及三角函数的泰勒展开、洛必达法则的应用，以及代数式的化简技巧。

解题核心思路：

1. 通分处理：将原式通分，转化为分子分母均为多项式的形式，便于后续展开或应用洛必达法则。
2. 三角恒等式转化：利用$\sin 2x = 2\sin x \cos x$，将分子中的$\cos^2 x \sin^2 x$转化为$\dfrac{1}{4}\sin^2 2x$，简化表达式。
3. 泰勒展开或洛必达法则：对分子和分母进行高阶展开，或多次应用洛必达法则，处理$0/0$型不定式，最终求出极限值。

破题关键点：

• 识别隐含的高阶无穷小关系：当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，但需展开到更高阶以消除低阶项的影响。
• 灵活选择方法：泰勒展开法直接展开分子分母，或通过洛必达法则逐步化简，均可解决问题。

步骤1：通分处理
原式可通分为：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \cos^2 x \sin^2 x}{x^2 \sin^2 x}$

步骤2：三角恒等式转化
利用$\cos^2 x \sin^2 x = \dfrac{1}{4}\sin^2 2x$，分子变为：
$x^2 - \frac{1}{4}\sin^2 2x$

步骤3：泰勒展开法
当$x \to 0$时，展开$\sin 2x$和$\sin^2 x$：

• $\sin 2x = 2x - \dfrac{(2x)^3}{6} + \cdots$，故$\sin^2 2x = 4x^2 - \dfrac{16x^4}{3} + \cdots$
• $\sin^2 x = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \cdots$

代入分子和分母：

• 分子：$x^2 - \dfrac{1}{4}(4x^2 - \dfrac{16x^4}{3}) = \dfrac{4x^4}{3}$
• 分母：$x^2 \cdot (x^2 - \dfrac{x^4}{3}) \approx x^4$

因此，极限化简为：
$\lim_{x \to 0} \frac{\dfrac{4x^4}{3}}{x^4} = \frac{4}{3}$

步骤4（备选）：洛必达法则
若应用洛必达法则，需对分子和分母求导三次，最终化简为：
$\lim_{x \to 0} \frac{4(1 - \cos 4x)}{24x^2} = \frac{4}{3}$