设 X_1, X_2, ... X_n 是取自总体 N(0, sigma^2) 的样本，则可以作为 sigma^2 的无偏估计量是(）。A. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_i^2B. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n X_i^2C. (1)/(n) sum_(i=1)^n X_iD. (1)/(n-1) sum_(i=1)^n dot(X)_i

考查要点：本题主要考查无偏估计量的概念及正态总体方差的无偏估计方法。

解题核心思路：

1. 无偏估计量的定义是估计量的期望等于被估计的参数。
2. 对于正态总体 $N(0, \sigma^2)$，若总体均值已知（本题中为 $0$），则方差 $\sigma^2$ 的无偏估计量为 $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$。
3. 若总体均值未知，通常用样本均值代替总体均值，此时无偏估计量为 $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2$，但本题中总体均值已知，因此无需调整分母。

破题关键点：

• 明确总体均值是否已知，直接影响方差估计量的分母形式。
• 计算各选项的期望，验证是否等于 $\sigma^2$。

选项分析

选项 A

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$

• 由 $X_i \sim N(0, \sigma^2)$，得 $E(X_i^2) = \sigma^2$。
• 期望计算：
  $E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} E(X_i^2) = \frac{1}{n} \cdot n \sigma^2 = \sigma^2$
• 结论：无偏。

选项 B

$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i^2$

• 期望计算：
  $E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} X_i^2\right) = \frac{1}{n-1} \cdot n \sigma^2 = \frac{n}{n-1} \sigma^2 \neq \sigma^2$
• 结论：有偏。

选项 C

$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i$

• 由 $E(X_i) = 0$，得：
  $E\left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i\right) = \frac{1}{n} \cdot n \cdot 0 = 0 \neq \sigma^2$
• 结论：有偏。

选项 D

$\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \dot{X}_i$

• $\dot{X}_i$ 符号不明确，但若假设为样本均值 $\bar{X}$，则：
  $E\left(\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \bar{X}\right) = \frac{1}{n-1} \cdot n \cdot 0 = 0 \neq \sigma^2$
• 结论：有偏。