题目

宽度为a的狭缝被白光照射，若红光（lambda=650(nm)）的一级暗纹落在Phi=30^circ的位置上，则a为__________，若同时有lambda'的光的一级明纹落在此处，则lambda'为__________。（填选项字母） A. 0.65mu m；B. 0.975mu m；C. 1.3mu m；D. 1.95mu m；E. 325(nm)；F. 433(nm)G. 975(nm)

宽度为$a$的狭缝被白光照射，若红光（$\lambda=650\text{nm}$）的一级暗纹落在$\Phi=30^\circ$的位置上，则$a$为__________，若同时有$\lambda'$的光的一级明纹落在此处，则$\lambda'$为__________。（填选项字母）

  • A. $0.65\mu m$；
  • B. $0.975\mu m$；
  • C. $1.3\mu m$；
  • D. $1.95\mu m$；
  • E. $325\text{nm}$；
  • F. $433\text{nm}$
  • G. $975\text{nm}$

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要应用单缝衍射的公式。单缝衍射的暗纹和明纹位置由以下公式决定： 1. 暗纹位置：\[a \sin{\Phi} = m\lambda\]，其中 $m = \pm1, \pm2, \pm3, \ldots$ 2. 明纹位置：\[a \sin{\Phi} = (m + \frac{1}{2})\lambda\]，其中 $m = 0, \pm1, \pm2, \ldots$ 题目中提到红光（$\lambda = 650nm$）的一级暗纹落在$\Phi = 30^{\circ}$的位置上，因此我们可以使用暗纹的公式来计算狭缝宽度 $a$。 ### 计算狭缝宽度 $a$ 给定 $\lambda = 650nm = 650 \times 10^{-9}m$，$\Phi = 30^{\circ}$，$m = 1$（因为是一级暗纹），代入暗纹公式： \[a \sin{30^{\circ}} = 1 \times 650nm\] 因为 $\sin{30^{\circ}} = 0.5$，所以： \[a \times 0.5 = 650nm\] 解得： \[a = 650nm \times 2 = 1300nm = 1.3\mu m\] 所以，狭缝宽度 $a$ 为 1.3μm，对应选项 C。 ### 计算另一光波长 $\lambda'$ 题目还提到，若同时有 $\lambda'$ 的光的一级明纹落在此处。根据明纹的公式： \[a \sin{\Phi} = (m + \frac{1}{2})\lambda'\] 给定 $a = 1.3\mu m = 1300nm$，$\Phi = 30^{\circ}$，$m = 0$（因为是一级明纹），代入明纹公式： \[1300nm \times 0.5 = (0 + \frac{1}{2})\lambda'\] 解得： \[650nm = \frac{1}{2}\lambda'\] 因此： \[\lambda' = 1300nm\] 但是，这个结果并不在给定的选项中。我们需要重新考虑明纹的定义，这里的一级明纹实际上指的是 $m = 1$ 的情况，即： \[1300nm \times 0.5 = (1 + \frac{1}{2})\lambda'\] 解得： \[650nm = \frac{3}{2}\lambda'\] 因此： \[\lambda' = \frac{650nm \times 2}{3} = 433.33nm\] 所以，$\lambda'$ 为 433nm，对应选项 F。 ### 最终答案 - 狭缝宽度 $a$ 为 1.3μm，对应选项 C。 - 光波长 $\lambda'$ 为 433nm，对应选项 F。

解析

本题考查单缝衍射中暗纹和明纹的条件，需熟练掌握相关公式及其适用条件。

  1. 暗纹条件：$a \sin\Phi = m\lambda$（$m=1,2,3,\dots$）
  2. 明纹条件：$a \sin\Phi = (m+\frac{1}{2})\lambda$（$m=0,1,2,\dots$）
    关键点：
  • 明纹的级数$m$从$0$开始，一级明纹对应$m=1$（非$m=0$）。
  • 单位换算需注意纳米（nm）与微米（μm）的转换关系（$1\mu\text{m}=1000\text{nm}$）。

第一空：求狭缝宽度$a$

  1. 应用暗纹公式
    红光一级暗纹对应$m=1$，代入公式：
    $a \sin30^\circ = 1 \cdot 650\text{nm}$
    $\sin30^\circ = 0.5$，解得：
    $a = \frac{650\text{nm}}{0.5} = 1300\text{nm} = 1.3\mu\text{m}$
    对应选项C。

第二空：求$\lambda'$

  1. 应用明纹公式
    题目中“一级明纹”对应$m=1$（非$m=0$），代入公式：
    $a \sin30^\circ = \left(1+\frac{1}{2}\right)\lambda'$
    代入$a=1300\text{nm}$，$\sin30^\circ=0.5$：
    $1300\text{nm} \cdot 0.5 = \frac{3}{2}\lambda'$
    解得：
    $\lambda' = \frac{1300\text{nm} \cdot 0.5 \cdot 2}{3} = 433\text{nm}$
    对应选项F。