题目
3-7 如题 3-7 图所示,两飞轮A和B的轴杆在同一中心线上,设A轮、B轮的转动惯量-|||-分别为 _(A)=1.0kgcdot (m)^2 和 _(B)=2.0kgcdot (m)^2 。开始时,A轮转速为 pi radcdot (s)^-1 ,B轮静止,然后-|||-两轮"啮合",使两轮转速相同,啮合过程中无外力矩作用,求:-|||-(1)两轮啮合后的共同角速度w。-|||-(2)两轮各自所受的冲量矩。-|||-、-|||-%-|||-A-|||-B-|||-题 3-7 图
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定初始角动量
根据角动量守恒定律，系统在没有外力矩作用的情况下，总角动量保持不变。初始时，只有A轮在转动，其角动量为 ${L}_{A}={I}_{A}\omega_{A}$，其中 ${I}_{A}=1.0kg\cdot {m}^{2}$，$\omega_{A}=3\pi rad\cdot {s}^{-1}$。因此，初始角动量为 ${L}_{A}=1.0kg\cdot {m}^{2}\times 3\pi rad\cdot {s}^{-1}=3\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。
步骤 2：确定啮合后的共同角速度
啮合后，两轮的角速度相同，设为 $\omega$。此时，系统的总角动量为 ${L}_{A}+{L}_{B}={I}_{A}\omega+{I}_{B}\omega=(1.0kg\cdot {m}^{2}+2.0kg\cdot {m}^{2})\omega=3\omega kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。根据角动量守恒定律，啮合前后的总角动量相等，即 $3\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}=3\omega kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。解得 $\omega=\pi rad\cdot {s}^{-1}$。
步骤 3：计算两轮各自所受的冲量矩
冲量矩等于角动量的变化量。对于A轮，角动量变化量为 ${L}_{A}'-{L}_{A}=1.0kg\cdot {m}^{2}\times \pi rad\cdot {s}^{-1}-3\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}=-2\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。对于B轮，角动量变化量为 ${L}_{B}'-{L}_{B}=2.0kg\cdot {m}^{2}\times \pi rad\cdot {s}^{-1}-0=2\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。因此，A轮所受的冲量矩为 $-2\pi N\cdot m\cdot s$，B轮所受的冲量矩为 $2\pi N\cdot m\cdot s$。
根据角动量守恒定律，系统在没有外力矩作用的情况下，总角动量保持不变。初始时，只有A轮在转动，其角动量为 ${L}_{A}={I}_{A}\omega_{A}$，其中 ${I}_{A}=1.0kg\cdot {m}^{2}$，$\omega_{A}=3\pi rad\cdot {s}^{-1}$。因此，初始角动量为 ${L}_{A}=1.0kg\cdot {m}^{2}\times 3\pi rad\cdot {s}^{-1}=3\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。
步骤 2：确定啮合后的共同角速度
啮合后，两轮的角速度相同，设为 $\omega$。此时，系统的总角动量为 ${L}_{A}+{L}_{B}={I}_{A}\omega+{I}_{B}\omega=(1.0kg\cdot {m}^{2}+2.0kg\cdot {m}^{2})\omega=3\omega kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。根据角动量守恒定律，啮合前后的总角动量相等，即 $3\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}=3\omega kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。解得 $\omega=\pi rad\cdot {s}^{-1}$。
步骤 3：计算两轮各自所受的冲量矩
冲量矩等于角动量的变化量。对于A轮，角动量变化量为 ${L}_{A}'-{L}_{A}=1.0kg\cdot {m}^{2}\times \pi rad\cdot {s}^{-1}-3\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}=-2\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。对于B轮，角动量变化量为 ${L}_{B}'-{L}_{B}=2.0kg\cdot {m}^{2}\times \pi rad\cdot {s}^{-1}-0=2\pi kg\cdot {m}^{2}\cdot {s}^{-1}$。因此，A轮所受的冲量矩为 $-2\pi N\cdot m\cdot s$，B轮所受的冲量矩为 $2\pi N\cdot m\cdot s$。