2.一弹簧振子沿x轴作简谐振动,已知振动物体最大位移为 _(m)=0.4m, 最大恢复-|||-力为 _(m)=0.8N, 最大速度为 _(m)=0.8pi m/s, 若 t=0 时的初位移为 +0.2m, 且初速-|||-度与所选x轴方向相反。-|||-(1)求振动能量;-|||-(2)求此振动的表达式。

考查要点：本题主要考查简谐振动的能量计算及振动方程的建立，涉及弹簧振子的动力学特性。

解题核心思路：

1. 振动能量：简谐振动的总能量为最大势能或最大动能，可通过已知的最大位移和最大恢复力求出弹簧劲度系数$k$，再结合公式计算。
2. 振动方程：确定振幅$A$、角频率$\omega$及初相位$\phi$。振幅由最大位移给出，角频率通过最大速度与振幅的关系求得，初相位利用初始条件联立方程求解。

破题关键点：

• 能量计算：利用最大恢复力$F_m = kx_m$求$k$，再代入总能量公式$E = \frac{1}{2}kx_m^2$。
• 振动方程：通过最大速度$v_m = A\omega$求$\omega$，结合初始位移和速度方向确定初相位$\phi$。

第（1）题：求振动能量

求弹簧劲度系数$k$

由最大恢复力公式：
$F_m = kx_m \implies k = \frac{F_m}{x_m} = \frac{0.8}{0.4} = 2 \, \text{N/m}.$

计算总能量

总能量为最大势能：
$E = \frac{1}{2}kx_m^2 = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.4)^2 = 0.16 \, \text{J}.$

第（2）题：求振动的表达式

确定振幅$A$

振幅为最大位移：
$A = x_m = 0.4 \, \text{m}.$

求角频率$\omega$

由最大速度公式：
$v_m = A\omega \implies \omega = \frac{v_m}{A} = \frac{0.8\pi}{0.4} = 2\pi \, \text{rad/s}.$

确定初相位$\phi$

振动方程设为$x = A\cos(\omega t + \phi)$，初位移为：
$x(0) = A\cos\phi = 0.2 \implies \cos\phi = \frac{0.2}{0.4} = 0.5 \implies \phi = \pm \frac{\pi}{3}.$
初速度为：
$v(0) = -A\omega\sin\phi.$
因初速度方向与$x$轴相反，故$v(0) < 0$，即：
$\sin\phi > 0 \implies \phi = \frac{\pi}{3}.$

振动表达式

综上，振动方程为：
$x = 0.4\cos(2\pi t + \frac{\pi}{3}).$