题目
2.一弹簧振子沿x轴作简谐振动,已知振动物体最大位移为 _(m)=0.4m, 最大恢复-|||-力为 _(m)=0.8N, 最大速度为 _(m)=0.8pi m/s, 若 t=0 时的初位移为 +0.2m, 且初速-|||-度与所选x轴方向相反。-|||-(1)求振动能量;-|||-(2)求此振动的表达式。
题目解答
答案
解析
步骤 1：求振动能量
振动能量 $E$ 可以通过最大势能或最大动能来计算。最大势能 $E_{p}=\frac{1}{2}k{x}_{m}^{2}$，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，${x}_{m}$ 是振动物体的最大位移。最大动能 $E_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$，其中 $m$ 是振动物体的质量，${v}_{m}$ 是振动物体的最大速度。由于在简谐振动中，能量在势能和动能之间转换，但总能量保持不变，所以振动能量 $E=E_{p}=E_{k}$。
步骤 2：求劲度系数 $k$
由最大恢复力 ${F}_{m}=k{x}_{m}$，可以求出劲度系数 $k=\frac{{F}_{m}}{{x}_{m}}$。
步骤 3：求质量 $m$
由最大速度 ${v}_{m}=\omega{x}_{m}$，其中 $\omega$ 是角频率，可以求出 $\omega=\frac{{v}_{m}}{{x}_{m}}$。又因为 $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$，可以求出质量 $m=\frac{k}{{\omega}^{2}}$。
步骤 4：求振动表达式
振动表达式为 $x={x}_{m}\cos(\omega t+\phi)$，其中 $\phi$ 是初相位。由 t=0 时的初位移为 +0.2m，可以求出 $\cos\phi=\frac{0.2}{0.4}=\frac{1}{2}$，所以 $\phi=\frac{\pi}{3}$ 或 $\phi=-\frac{\pi}{3}$。又因为初速度与所选x轴方向相反，所以 $\phi=\frac{\pi}{3}$。
振动能量 $E$ 可以通过最大势能或最大动能来计算。最大势能 $E_{p}=\frac{1}{2}k{x}_{m}^{2}$，其中 $k$ 是弹簧的劲度系数，${x}_{m}$ 是振动物体的最大位移。最大动能 $E_{k}=\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$，其中 $m$ 是振动物体的质量，${v}_{m}$ 是振动物体的最大速度。由于在简谐振动中，能量在势能和动能之间转换，但总能量保持不变，所以振动能量 $E=E_{p}=E_{k}$。
步骤 2：求劲度系数 $k$
由最大恢复力 ${F}_{m}=k{x}_{m}$，可以求出劲度系数 $k=\frac{{F}_{m}}{{x}_{m}}$。
步骤 3：求质量 $m$
由最大速度 ${v}_{m}=\omega{x}_{m}$，其中 $\omega$ 是角频率，可以求出 $\omega=\frac{{v}_{m}}{{x}_{m}}$。又因为 $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$，可以求出质量 $m=\frac{k}{{\omega}^{2}}$。
步骤 4：求振动表达式
振动表达式为 $x={x}_{m}\cos(\omega t+\phi)$，其中 $\phi$ 是初相位。由 t=0 时的初位移为 +0.2m，可以求出 $\cos\phi=\frac{0.2}{0.4}=\frac{1}{2}$，所以 $\phi=\frac{\pi}{3}$ 或 $\phi=-\frac{\pi}{3}$。又因为初速度与所选x轴方向相反，所以 $\phi=\frac{\pi}{3}$。