有一光源S与接收器R相对静止，距离为l0，S-R装置浸在均匀无限的液体介质(静止折射率n)中，试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间。 (1) 液体介质相对于S-R装置静止； (2) 液体沿着S-R连线方向以速度v流动； (3) 液体垂直于S-R连线方向以速度v流动．

本题主要考查狭义相对论中的速度变换公式以及时间的计算，解题的关键在于根据不同的参考系和运动情况，正确运用速度变换公式求出光在不同情况下的传播速度，再结合距离计算时间。

(1) 液体介质相对于S - R装置静止

当液体介质相对于S - R装置静止时，光在液体中的传播速度为$u = \frac{c}{n}$（其中$c$为真空中的光速，$n$为液体的静止折射率）。
根据时间的计算公式$\Delta t=\frac{l}{u}$（$l$为传播距离，$u$为传播速度），已知光源与接收器的距离为$l_0$，则光源发出讯号到接收器接到讯号所经历的时间为：
$\Delta t_1=\frac{l_0}{u}=\frac{l_0}{\frac{c}{n}}=\frac{nl_0}{c}$

(2) 液体沿着S - R连线方向以速度$v$流动

取固着于介质的参考系为$\sum'$系，$\sum'$系沿$x$轴以速度$v$运动。在$\sum'$系中，测得光速在各个方向上均是$\frac{c}{n}$。
根据狭义相对论的速度变换公式$u'=\frac{u + v}{1+\frac{uv}{c^2}}$（其中$u$是在$\sum'$系中的速度，$v$是两参考系的相对速度，$u'$是在$\sum$系中的速度），在$\sum$系中沿介质运动方向的光速为：
$u'=\frac{\frac{c}{n}+v}{1+\frac{v}{c}\cdot\frac{c}{n}}=\frac{\frac{c}{n}+v}{1+\frac{v}{cn}}$
再根据时间的计算公式$\Delta t=\frac{l}{u}$，此时传播距离为$l_0$，则$R$接收到讯号的时间为：
$\Delta t_2=\frac{l_0}{u'}=\frac{l_0}{\frac{\frac{c}{n}+v}{1+\frac{v}{cn}}}=\frac{(1 + \frac{v}{cn})l_0}{\frac{c}{n}+v}$

(3) 液体垂直于S - R连线方向以速度$v$流动

取相对于S - R装置静止的参考系为$\sum$系，相对于介质静止的系为$\sum'$系。
在$\sum'$系中，光在$y'$方向的速度$u_y'=\frac{c}{n}$，$x'$方向的速度$u_x'=-v$。
根据速度变换公式，在$\sum$系中$x$方向的速度$u_x = u_x'\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}=-v\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$，$y$方向的速度$u_y=\frac{u_y'}{\gamma(1+\frac{u_x'v}{c^2})}$，其中$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$。
将$u_y'=\frac{c}{n}$，$u_x'=-v$代入可得：
$u_y=\frac{\frac{c}{n}}{\frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}(1-\frac{v^2}{c^2})}=\frac{\frac{c}{n}\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{1 - \frac{v^2}{c^2}}=\frac{\frac{c}{n}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$
光在$\sum$系中的合速度$u=\sqrt{u_x^2 + u_y^2}$，由于$u_x = -v\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}$，$u_y=\frac{\frac{c}{n}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$，则：
$\begin{align*}u&=\sqrt{(-v\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}})^2 + (\frac{\frac{c}{n}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}})^2}\\&=\sqrt{v^2(1 - \frac{v^2}{c^2})+\frac{c^2}{n^2(1 - \frac{v^2}{c^2})}}\\&=\sqrt{\frac{(c/n)^2 - v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}}\end{align*}$
根据时间的计算公式$\Delta t=\frac{l}{u}$，此时传播距离为$l_0$，则$R$接收到讯号的时间为：
$\Delta t_3=\frac{l_0}{u}=\frac{l_0}{\sqrt{\frac{(c/n)^2 - v^2}{1 - \frac{v^2}{c^2}}}}=\frac{l_0\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{(c/n)^2 - v^2}}$