题目
3.无限长直导线,通以电流I,有一与之共面的矩形线圈ABCD。已知BC边长为b,且-|||-与长直导线平行,DC边长为a。若线圈以垂直于导线方向的速度V向右平移,当D点与长-|||-直导线的距离为d时,如图7所示,求线圈ABCD内的感应电动势的大小和方向。-|||-A B-|||-b v-|||-D a C-|||-一-|||-d
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定磁场分布
无限长直导线产生的磁场可以用毕奥-萨伐尔定律计算，其磁场强度为 $B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是电流，$r$ 是到导线的距离。
步骤 2：计算线圈ABCD内的磁通量
线圈ABCD内的磁通量 $\Phi$ 可以通过积分计算，即 $\Phi =\int_{d}^{d+a}B\cdot b\cdot dr$。将磁场强度 $B$ 的表达式代入，得到 $\Phi =\int_{d}^{d+a}\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot b\cdot dr$。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 $e$ 等于磁通量的变化率，即 $e=-\dfrac{d\Phi }{dt}$。由于线圈以速度 $v$ 向右平移，$r$ 的变化率为 $v$，因此 $e=-\dfrac{d\Phi }{dr}\cdot v$。将磁通量 $\Phi$ 的表达式代入，得到 $e=-\dfrac{d}{dr}\left(\int_{d}^{d+a}\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot b\cdot dr\right)\cdot v$。
步骤 4：计算感应电动势的大小和方向
计算感应电动势的大小，得到 $e=\dfrac{{\mu }_{0}Iba}{2\pi d(d+a)}v$。根据楞次定律，感应电动势的方向与线圈中电流的方向相反，因此感应电动势的方向为ABCDA（即顺时针）。
无限长直导线产生的磁场可以用毕奥-萨伐尔定律计算，其磁场强度为 $B=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}$，其中 ${\mu }_{0}$ 是真空磁导率，$I$ 是电流，$r$ 是到导线的距离。
步骤 2：计算线圈ABCD内的磁通量
线圈ABCD内的磁通量 $\Phi$ 可以通过积分计算，即 $\Phi =\int_{d}^{d+a}B\cdot b\cdot dr$。将磁场强度 $B$ 的表达式代入，得到 $\Phi =\int_{d}^{d+a}\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot b\cdot dr$。
步骤 3：计算感应电动势
根据法拉第电磁感应定律，感应电动势 $e$ 等于磁通量的变化率，即 $e=-\dfrac{d\Phi }{dt}$。由于线圈以速度 $v$ 向右平移，$r$ 的变化率为 $v$，因此 $e=-\dfrac{d\Phi }{dr}\cdot v$。将磁通量 $\Phi$ 的表达式代入，得到 $e=-\dfrac{d}{dr}\left(\int_{d}^{d+a}\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi r}\cdot b\cdot dr\right)\cdot v$。
步骤 4：计算感应电动势的大小和方向
计算感应电动势的大小，得到 $e=\dfrac{{\mu }_{0}Iba}{2\pi d(d+a)}v$。根据楞次定律，感应电动势的方向与线圈中电流的方向相反，因此感应电动势的方向为ABCDA（即顺时针）。