一束平行光垂直入射到某个光栅上,该光束有两种波长的光: =440nm, =660nm。实验发现,两种波长的谱线(不计中央明纹)第二次重合于衍射角 = 60°的方向上。求此光栅的光栅常数d.

本题考查光栅衍射中不同波长谱线重合的条件及光栅常数的计算，关键是利用光栅方程和谱线重合时衍射角相同的特点求解。

核心知识点

光栅衍射的主极大条件：$d\sin\theta = k\lambda$，其中$d$为光栅常数，$\theta$为衍射角，$k$为衍射级次，$\lambda$为波长。
谱线重合条件：两种波长的光在同一衍射角$\theta$处出现主极大，即$d\sin\theta = k_1\lambda_1 = k_2\lambda_2$，因此$\frac{k_1}{k_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}$。

解题步骤

1. 波长比与级次比关系
   已知$\lambda_1=440\,\text{nm}$，$\lambda_2=660\,\text{nm}$，则$\frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{660}{440}=\frac{3}{2}$，故$\frac{k_1}{k_2}=\frac{3}{2}$，即$k_1=\frac{3}{2}k_2$。
   由于$k_1,k_2$必须为整数，因此$k_2$必为偶数，设$k_2=2n$（$n=1,2,3\cdots$），则$k_1=3n$。

2. 第二次重合的级次

   • $n=1$时：$k_1=3$，$k_2=2$（第一次重合）；
   • $n=2$时：$k_1=6$，$k_2=4$（第二次重合）。

3. 计算光栅常数$d$
   第二次重合时衍射角$\theta=60^\circ$，代入光栅方程$d\sin\theta = k_1\lambda_1$：
   $d=\frac{k_1\lambda_1}{\sin60^\circ}=\frac{6\times440\times10^{-9}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\approx3.05\times10^{-6}\,\text{m}=3.05\times10^{-3}\,\text{mm}$