题目
质点沿x轴作直线运动，a=t，t=0时x0=1m，v0=2m/s，则t=2s时质点的速度大小和位置分别是A. 2(m/s) ；7/3(m)B. 6(m/s) ；9(m)C. 4(m/s) ；19/3(m)D. 2(m/s) ；4/3(m)
质点沿x轴作直线运动，a=t，t=0时x0=1m，v0=2m/s，则t=2s时质点的速度大小和位置分别是
A. 2(m/s) ；7/3(m)
B. 6(m/s) ；9(m)
C. 4(m/s) ；19/3(m)
D. 2(m/s) ；4/3(m)
题目解答
答案
C. 4(m/s) ；19/3(m)
解析
步骤 1：确定加速度与时间的关系
题目给出质点沿x轴作直线运动，加速度a与时间t的关系为a=t。这意味着加速度随时间线性增加。
步骤 2：计算速度
根据加速度的定义，加速度是速度对时间的导数，即a=dv/dt。因此，速度v是加速度a对时间t的积分。由于a=t，我们有：
\[ v = \int a \, dt = \int t \, dt = \frac{1}{2}t^2 + C \]
其中C是积分常数。根据题目条件，t=0时v0=2m/s，代入上式求得C=2。因此，速度v的表达式为：
\[ v = \frac{1}{2}t^2 + 2 \]
当t=2s时，代入上式求得速度v：
\[ v = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 = 2 + 2 = 4 \, \text{m/s} \]
步骤 3：计算位置
根据速度的定义，速度是位置对时间的导数，即v=dx/dt。因此，位置x是速度v对时间t的积分。由于v=\frac{1}{2}t^2 + 2，我们有：
\[ x = \int v \, dt = \int (\frac{1}{2}t^2 + 2) \, dt = \frac{1}{6}t^3 + 2t + D \]
其中D是积分常数。根据题目条件，t=0时x0=1m，代入上式求得D=1。因此，位置x的表达式为：
\[ x = \frac{1}{6}t^3 + 2t + 1 \]
当t=2s时，代入上式求得位置x：
\[ x = \frac{1}{6}(2)^3 + 2(2) + 1 = \frac{8}{6} + 4 + 1 = \frac{4}{3} + 4 + 1 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} + \frac{3}{3} = \frac{19}{3} \, \text{m} \]
题目给出质点沿x轴作直线运动，加速度a与时间t的关系为a=t。这意味着加速度随时间线性增加。
步骤 2：计算速度
根据加速度的定义，加速度是速度对时间的导数，即a=dv/dt。因此，速度v是加速度a对时间t的积分。由于a=t，我们有：
\[ v = \int a \, dt = \int t \, dt = \frac{1}{2}t^2 + C \]
其中C是积分常数。根据题目条件，t=0时v0=2m/s，代入上式求得C=2。因此，速度v的表达式为：
\[ v = \frac{1}{2}t^2 + 2 \]
当t=2s时，代入上式求得速度v：
\[ v = \frac{1}{2}(2)^2 + 2 = 2 + 2 = 4 \, \text{m/s} \]
步骤 3：计算位置
根据速度的定义，速度是位置对时间的导数，即v=dx/dt。因此，位置x是速度v对时间t的积分。由于v=\frac{1}{2}t^2 + 2，我们有：
\[ x = \int v \, dt = \int (\frac{1}{2}t^2 + 2) \, dt = \frac{1}{6}t^3 + 2t + D \]
其中D是积分常数。根据题目条件，t=0时x0=1m，代入上式求得D=1。因此，位置x的表达式为：
\[ x = \frac{1}{6}t^3 + 2t + 1 \]
当t=2s时，代入上式求得位置x：
\[ x = \frac{1}{6}(2)^3 + 2(2) + 1 = \frac{8}{6} + 4 + 1 = \frac{4}{3} + 4 + 1 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} + \frac{3}{3} = \frac{19}{3} \, \text{m} \]