一半径为R的无限长半圆柱面导体,载有与轴线上的长直导线等值反向的电流I,如图所示。试求轴线上长直导线单位长度所受的磁力大小。

步骤 1：确定电流元产生的磁场
在半圆柱面上，选取一个微小的电流元dI，它在轴线上产生的磁场dB可以用毕奥-萨伐尔定律计算。由于电流元dI与轴线垂直，且距离轴线的距离为R，因此dB的大小为：
$$dB=\dfrac{{\mu }_{0}dI}{2\pi R}$$
其中，${\mu }_{0}$是真空磁导率，dI是电流元的电流大小，R是电流元到轴线的距离。

步骤 2：计算电流元在轴线上产生的磁场分量
由于电流元dI在轴线上产生的磁场dB的方向与轴线垂直，因此我们需要计算dB在x轴方向的分量d$B_{x}$。根据图示，d$B_{x}$的大小为：
$$d{B}_{x}=dB\sin \theta =\dfrac{{\mu }_{0}dI}{2\pi R}\sin \theta$$
其中，$\theta$是电流元dI与轴线之间的夹角。

步骤 3：积分计算总磁场
由于电流元dI在半圆柱面上均匀分布，因此我们需要对所有电流元产生的磁场分量进行积分，以得到轴线上总的磁场大小B。积分范围为0到$\pi$，因此：
$$B=\int d{B}_{x}=\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}\int_{0}^{\pi }\sin \theta d\theta =\dfrac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}[-\cos \theta ]_{0}^{\pi }=\dfrac{{\mu }_{0}I}{\pi R}$$
其中，I是半圆柱面上的总电流大小，R是半圆柱面的半径。

步骤 4：计算轴线上长直导线单位长度所受的磁力大小
根据安培定律，轴线上长直导线单位长度所受的磁力大小F为：
$$F=BI=\dfrac{{\mu }_{0}{I}^{2}}{\pi R}$$
其中，I是轴线上长直导线的电流大小，R是半圆柱面的半径。