题目
有一水桶，桶内水深为0.50m，桶底有一面积为5.0cm2的小孔，桶的横截面比小孔大得多。将桶架高后，在水桶下方（ ）距离处，水流横截面面积变为孔面积的一半。A. 1mB. 1.5mC. 2mD. 2.5m
有一水桶，桶内水深为0.50m，桶底有一面积为5.0cm2的小孔，桶的横截面比小孔大得多。将桶架高后，在水桶下方（ ）距离处，水流横截面面积变为孔面积的一半。
A. 1m
B. 1.5m
C. 2m
D. 2.5m
题目解答
答案
B. 1.5m
解析
步骤 1：确定小孔处的水流速度
根据伯努利方程，选取桶底为参考面，有
${p}_{1}+ρg{h}_{1}+\frac{1}{2}ρ{v}_{1}^{2}={p}_{2}+ρg{h}_{2}+\frac{1}{2}ρ{v}_{2}^{2}$
其中p_1=p_2，h_1-h_2=h，由于桶的横截面比小孔大得多，则v_1≈0，小孔处的水流速度v_2=v
代入方程得$ρgh=\frac{1}{2}ρ{v}^{2}$，得小孔处的水流速度为$v=\sqrt{2gh}$。
步骤 2：确定水流横截面面积变为孔面积一半时的位置
设水桶下方距离为x处，水流横截面面积变为孔面积的一半，由连续性原理和伯努利方程得
Sv=S_xv_x
$\frac{1}{2}ρ{v}^{2}=-ρgx+\frac{1}{2}ρ{v}_{x}^{2}$
根据已知得$\frac{1}{2}S={S}_{x}$
联立上式，把小孔处的水流速度代入得$x=\frac{3{v}^{2}}{2g}=\frac{3×（\sqrt{2gh}）^{2}}{2g}=3h=3×0.50m=1.5m$。
根据伯努利方程，选取桶底为参考面，有
${p}_{1}+ρg{h}_{1}+\frac{1}{2}ρ{v}_{1}^{2}={p}_{2}+ρg{h}_{2}+\frac{1}{2}ρ{v}_{2}^{2}$
其中p_1=p_2，h_1-h_2=h，由于桶的横截面比小孔大得多，则v_1≈0，小孔处的水流速度v_2=v
代入方程得$ρgh=\frac{1}{2}ρ{v}^{2}$，得小孔处的水流速度为$v=\sqrt{2gh}$。
步骤 2：确定水流横截面面积变为孔面积一半时的位置
设水桶下方距离为x处，水流横截面面积变为孔面积的一半，由连续性原理和伯努利方程得
Sv=S_xv_x
$\frac{1}{2}ρ{v}^{2}=-ρgx+\frac{1}{2}ρ{v}_{x}^{2}$
根据已知得$\frac{1}{2}S={S}_{x}$
联立上式，把小孔处的水流速度代入得$x=\frac{3{v}^{2}}{2g}=\frac{3×（\sqrt{2gh}）^{2}}{2g}=3h=3×0.50m=1.5m$。